ORIGEM DOS SINAIS
Adição ( + ) e subtração ( - ) O emprego regular do sinal + ( mais )
aparece na Aritmética Comercial de João Widman d"Eger publicada em
Leipzig em 1489. Entretanto, representavam não à adição ou à subtração
ou aos números positivos ou negativos, mas aos excessos e aos déficit em
problemas de negócio. Os símbolos positivos e negativos vieram somente
ter uso geral na Inglaterra depois que foram usados por Robert Recorde
em 1557.Os símbolos positivos e negativos foram usados antes de
aparecerem na escrita. Por exemplo: foram pintados em tambores para
indicar se os tambores estavam cheios ou não. Os antigos matemáticos
gregos, como se observa na obra de Diofanto, limitavam-se a indicar a
adição juntapondo as parcelas - sistema que ainda hoje adotamos quando
queremos indicar a soma de um número inteiro com uma fração. Como sinal
de operação mais usavam os algebristas italianos a letra P, inicial da
palavra latina plus. Multiplicação ( . ) e divisão ( : ) O sinal de X,
como que indicamos a multiplicação, é relativamente moderno. O
matemático inglês Guilherme Oughtred empregou-o pela primeira vez, no
livro Clavis Matematicae publicado em 1631. Ainda nesse mesmo ano,
Harriot, para indicar também o produto a efetuar, colocava um ponto
entre os fatores. Em 1637, Descartes já se limitava a escrever os
fatores justapostos, indicando, desse modo abreviado, um produto
qualquer. Na obra de Leibniz escontra-se o sinal para indicar
multiplicação: esse mesmo símbolo colocado de modo inverso indicava a
divisão.O ponto foi introduzido como um símbolo para a multiplicação por G. W. Leibniz. Julho em 29, 1698, escreveu em uma carta a John
Bernoulli: "eu não gosto de X como um símbolo para a multiplicação,
porque é confundida facilmente com x; freqüentemente eu relaciono o
produto entre duas quantidades por um ponto . Daí, ao designar a relação
uso não um ponto mas dois pontos, que eu uso também para a divisão." As
formas a/b e , indicando a divisão de a por b, são atribuídas aos
árabes: Oughtred, e, 1631, colocava um ponto entre o dividendo o
divisor. A razão entre duas quantidades é indicada pelo sinal :, que
apareceu em 1657 numa obra de Oughtred. O sinal ÷, segundo Rouse Ball,
resultou de uma combinação de dois sinais existentes - e : Sinais de
relação ( =, < e > ) Robert Recorde, matemático inglês, terá
sempre o seu nome apontado na história da Matemática por ter sido o
primeiro a empregar o sinal = ( igual ) para indicar igualdade. No seu
primeiro livro, publicado em 1540, Record colocava o símbolo entre duas
expressões iguais; o sinal = ; constituído por dois pequenos traços
paralelos, só apareceu em 1557. Comentam alguns autores que nos
manuscritos da Idade Média o sinal = aparece como uma abreviatura da
palavra est. Guilherme Xulander, matemático alemão, indicava a igualdade
, em fins do século XVI, por dois pequenos traços paralelos verticais;
até então a palavra aequalis aparecia, por extenso, ligando os dois
membros da igualdade.
Os sinais > ( maior que ) e < ( menor que )
são devidos a Thomaz Harriot, que muito contribuiu com seus trabalhos
para o desenvolvimento da análise algébrica.
ORIGEM DO ZERO
Embora a grande invenção prática do zero seja atribuída aos hindus,
desenvolvimentos parciais ou limitados do conceito de zero são evidentes
em vários outros sistemas de numeração pelo menos tão antigos quanto o
sistema hindu, se não mais. Porém o efeito real de qualquer um desses
passos mais antigos sobre o desenvolvimento pleno do conceito de zero -
se é que de fato tiveram algum efeito - não está claro. O sistema
sexagesimal babilônico usado nos textos matemáticos e astronômicos era
essencialmente um sistema posicional, ainda que o conceito de zero não
estivesse plenamente desenvolvido. Muitas das tábuas babilônicas indicam
apenas um espaço entre grupos de símbolos quando uma potência
particular de 60 não era necessária, de maneira que as potências exatas
de 60 envolvidas devem ser determinadas, em parte, pelo contexto. Nas
tábuas babilônicas mais tardias (aquelas dos últimos três séculos a.C.)
usava-se um símbolo para indicar uma potência ausente, mas isto só
ocorria no interior de um grupo numérico e não no final. Quando os
gregos prosseguiram o desenvolvimento de tabelas astronômicas,
escolheram explicitamente o sistema sexagesimal babilônico para
expressar suas frações, e não o sistema egípcio de frações unitárias. A
subdivisão repetida de uma parte em 60 partes menores precisava que às
vezes “nem uma parte” de uma unidade fosse envolvida, de modo que as
tabelas de Ptolomeu no Almagesto (c.150 d.C.) incluem o símbolo ou 0
para indicar isto. Bem mais tarde, aproximadamente no ano 500, textos
gregos usavam o ômicron, que é a primeira letra palavra grega oudem
(“nada”). Anteriormente, o ômicron, restringia a representar o número
70, seu valor no arranjo alfabético regular. Talvez o uso sistemático
mais antigo de um símbolo para zero num sistema de valor relativo se
encontre na matemática dos maias das Américas Central e do Sul. O
símbolo maia do zero era usado para indicar a ausência de quaisquer
unidades das várias ordens do sistema de base vinte modificado. Esse
sistema era muito mais usado, provavelmente, para registrar o tempo em
calendários do que para propósitos computacionais. É possível que o mais
antigo símbolo hindu para zero tenha sido o ponto negrito, que aparece
no manuscrito Bakhshali, cujo conteúdo talvez remonte do século III ou
IV d.C., embora alguns historiadores o localize até no século XII.
Qualquer associação do pequeno círculo dos hindus, mais comuns, com o
símbolo usado pelos gregos seria apenas uma conjectura. Como a mais
antiga forma do símbolo hindu era comumente usado em inscrições e
manuscritos para assinalar um espaço em branco, era chamado sunya,
significando “lacuna” ou “vazio”. Essa palavra entrou para o árabe como
sifr, que significa “vago”. Ela foi transliterada para o latim como
zephirum ou zephyrum por volta do ano 1200, mantendo-se seu som mas não
seu sentido. Mudanças sucessivas dessas formas, passando inclusive por
zeuero, zepiro e cifre, levaram as nossas palavras “cifra” e “zero”. O
significado duplo da palavra “cifra” hoje - tanto pode se referir ao
símbolo do zero como a qualquer dígito - não ocorria no original hindu.
HISTÓRIAS DO NÚMEROS
A noção de número e suas extraordinárias generalizações estão
intimamente ligadas à história da humanidade. E a própria vida está
impregnada de matemática: grande parte das comparações que o homem
formula, assim como gestos e atitudes cotidianas, aludem conscientemente
ou não a juízos aritméticos e propriedades geométricas. Sem esquecer
que a ciência, a indústria e o comércio nos colocam em permanente
contato com o amplo mundo da matemática. A LINGUAGEM DOS NÚMEROS Em
todas as épocas da evolução humana, mesmo nas mais atrasadas,
encontra-se no homem o sentido do número. Esta faculdade lhe permite
reconhecer que algo muda em uma pequena coleção (por exemplo, seus
filhos, ou suas ovelhas) quando, sem seu conhecimento direto, um objeto
tenha sido retirado ou acrescentado. O sentido do número, em sua
significação primitiva e no seu papel intuitivo, não se confunde com a
capacidade de contar, que exige um fenômeno mental mais complicado. Se
contar é um atributo exclusivamente humano, algumas espécies de animais
parecem possuir um sentido rudimentar do número. Assim opinam, pelo
menos, observadores competentes dos costumes dos animais. Muitos
pássaros têm o sentido do número. Se um ninho contém quatro ovos,
pode-se tirar um sem que nada ocorra, mas o pássaro provavelmente
abandonará o ninho se faltarem dois ovos. De alguma forma inexplicável,
ele pode distinguir dois de três. O corvo assassinado Um senhor feudal
estava decidido a matar um corvo que tinha feito ninho na torre de seu
castelo. Repetidas vezes tentou surpreender o pássaro, mas em vão:
quando o homem se aproximava, o corvo voava de seu ninho, colocava-se
vigilante no alto de uma árvore próxima, e só voltava à torre quando já
vazia. Um dia, o senhor recorreu a um truque: dois homens entraram na
torre, um ficou lá dentro e o outro saiu e se foi. O pássaro não se
deixou enganar e, para voltar, esperou que o segundo homem tivesse
saído. O estratagema foi repetido nos dias seguintes com dois, três e
quatro homens, sempre sem êxito. Finalmente, cinco homens entraram na
torre e depois saíram quatro, um atrás do outro, enquanto o quinto
aprontava o trabuco à espera do corvo. Então o pássaro perdeu a conta e a
vida. As espécies zoológicas com sentido do número são muito poucas
(nem mesmo incluem os monos e outros mamíferos). E a percepção de
quantidade numérica nos animais é de tão limitado alcance que se pode
desprezá-la. Contudo, também no homem isso é verdade. Na prática, quando
o homem civilizado precisa distinguir um número ao qual não está
habituado, usa conscientemente ou não - para ajudar seu sentido do
número - artifícios tais como a comparação, o agrupamento ou a ação de
contar. Essa última, especialmente, se tornou parte tão integrante de
nossa estrutura mental que os testes sobre nossa percepção numérica
direta resultaram decepcionantes. Essas provas concluem que o sentido
visual direto do número possuído pelo homem civilizado raras vezes
ultrapassa o número quatro, e que o sentido tátil é ainda mais limitado.
Limitações vêm de longe Os estudos sobre os povos primitivos fornecem
uma notável comprovação desses resultados. Os selvagens que não
alcançaram ainda o grau de evolução suficiente para contar com os dedos
estão quase completamente disprovidos de toda noção de número. Os
habitantes da selva da África do Sul não possuem outras palavras
numéricas além de um, dois e muitos, e ainda essas palavras estão
desvinculadas que se pode duvidar que os indígenas lhes atribuam um
sentido bem claro. Realmente não há razões para crer que nossos remotos
antepassados estivessem mais bem equipados, já que todas as linguagens
européias apresentam traços destas antigas limitações: a palavra inglesa
thrice, do mesmo modo que a palavra latina ter, possui dois sentidos:
"três vezes" e "muito". Há evidente conexão entre as palavras latinas
tres (três) e trans (mais além). O mesmo acontece no francês: trois
(três) e très (muito). Como nasceu o conceito de número? Da experiência?
Ou, ao contrário, a experiência serviu simplesmente para tornar
explícito o que já existia em estado latente na mente do homem
primitivo? Eis aqui um tema apaixonante para discussão filosófica.
Julgando o desenvolvimento dos nossos ancestrais pelo estado mental das
tribos selvagens atuais, é impossível deixar de concluir que sua
iniciação matemática foi extremamente modesta. Um sentido rudimentar de
número, de alcance não maior que o de certos pássaros, foi o núcleo do
qual nasceu nossa concepção de número. Reduzido à percepção direta do
número, o homem não teria avançado mais que o corvo assassinado pelo
senhor feudal. Todavia, através de uma série de circunstâncias, o homem
aprendeu a completar sua percepção limitada de número com um artifício
que estava destinado a exercer influência extraordinária em sua vida
futura. Esse artifício é a operação de contar, e é a ele que devemos o
progresso da humanidade. O número sem contagem Apesar disso, ainda que
pareça estranho, é possível chegar a uma idéia clara e lógica de número
sem recorrer a contagem. Entrando numa sala de cinema, temos diante de
nós dois conjuntos: o das poltronas da sala e o dos espectadores. Sem
contar, podemos assegurar se esses dois conjuntos têm ou não igual
número de elementos e, se não têm, qual é o de menor número. Com efeito,
se cada assento está ocupado e ninguém está de pé, sabemos sem contar
que os dois conjuntos têm igual número. Se todas as cadeiras estão
ocupadas e há gente de pé na sala, sabemos sem contar que há mais
pessoas que poltronas. Esse conhecimento é possível graças a um
procedimento que domina toda a matemática, e que recebeu o nome de
correspondência biunívoca. Esta consiste em atribuir a cada objeto de um
conjunto um objeto de outro, e continuar assim até que um ou ambos os
conjuntos se esgotem. A técnica de contagem, em muitos povos primitivos,
se reduz precisamente a tais associações de idéias. Eles registram o
número de suas ovelhas ou de seus soldados por meio de incisões feitas
num pedaço de madeira ou por meio de pedras empilhadas. Temos uma prova
desse procedimento na origem da palavra "cálculo", da palavra latina
calculus, que significa pedra. A idéia de correspondência A
correspondência biunívoca resume-se numa operação de "fazer
corresponder". Pode-se dizer que a contagem se realiza fazendo
corresponder a cada objeto da coleção (conjunto), um número que pertence
à sucessão natural: 1,2,3... A gente aponta para um objeto e diz: um;
aponta para outro e diz: dois; e assim sucessivamente até esgotar os
objetos da coleção; se o último número pronunciado for oito, dizemos que
a coleção tem oito objetos e é um conjunto finito. Mas o homem de hoje,
mesmo com conhecimento precário de matemática, começaria a sucessão
numérica não pelo um mas por zero, e escreveria 0,1,2,3,4... A criação
de um símbolo para representar o "nada" constitui um dos atos mais
audaciosos da história do pensamento. Essa criação é relativamente
recente (talvez pelos primeiros séculos da era cristã) e foi devida às
exigências da numeração escrita. O zero não só permite escrever mais
simplesmente os números, como também efetuar as operações. Imagine o
leitor - fazer uma divisão ou multiplicação em números romanos! E no
entanto, antes ainda dos romanos, tinha florescido a civilização grega,
onde viveram alguns dos maiores matemáticos de todos os tempos; e nossa
numeração é muito posterior a todos eles. Do relativo ao absoluto
Pareceria à primeira vista que o processo de correspondência biunívoca
só pode fornecer um meio de relacionar, por comparação, dois conjuntos
distintos (como o das ovelhas do rebanho e o das pedras empilhadas),
sendo incapaz de criar o número no sentido absoluto da palavra. Contudo,
a transição do relativo ao absoluto não é difícil. Criando conjuntos
modelos, tomados do mundo que nos rodeia, e fazendo cada um deles
caracterizar um agrupamento possível, a avaliação de um dado conjunto
fica reduzida à seleçào, entre os conjuntos modelos, daquele que possa
ser posto em correspondência biunívoca com o conjunto dado. Começou
assim: as asas de um pássaro podiam simbolizar o número dois, as folhas
de um trevo o número três, as patas do cavalo o número quatro, os dedos
da mão o número cinco. Evidências de que essa poderia ser a origem dos
números se encontram em vários idiomas primitivos. É claro que uma vez
criado e adotado, o número se desliga do objeto que o representava
originalmente, a conexão entre os dois é esquecida e o número passa por
sua vez a ser um modelo ou um símbolo. À medida que o homem foi
aprendendo a servir-se cada vez mais da linguagem, o som das palavras
que exprimiam os primeiros números foi substituindo as imagens para as
quais foi criado. Assim os modelos concretos iniciais tomaram a forma
abstrata dos nomes dos números. É impossível saber a idade dessa
linguagem numérica falada, mas sem dúvida ela precedeu de vários milhões
de anos a aparição da escrita. Todos os vestígios da significação
inicial das palavras que designam os números foram perdidos, com a
possível excessão de cinco (que em várias línguas queria dizer mão, ou
mão estendida). A explicação para isso é que, enquanto os nomes dos
números se mantiveram invariáveis desde os dias de sua criação,
revelando notável estabilidade e semelhança em todos os grupos
linguísticos, os nomes dos objetos concretos que lhes deram nascimento
sofreram uma metamorfose completa.
Pesquisa realizada no site:
http://estudar.no.comunidades.net
obgd rsrs
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