Fórmulas de Prostaférese

  As fórmulas de Prostaférese (ou fórmulas de transformação de soma em produto) são muito importantes para o seu acervo trigonométrico e já podem ter sido apresentadas para você. Contudo, nem sempre são aprendidas com esses nomes, mas não são raros os cursos que as ensinam.

Para quem não conhece, saiba que vão ajudar e, uma das várias aplicações, é a resolução de algumas equações trigonométricas. Repare:

Resolver a equação sen5x+senx=0  — se o primeiro membro da equação estivesse na forma de produto em vez de duas parcelas, certamente ficaria mais fácil porque resolver uma equação na forma A(x)⋅B(x)=0 implica diretamente que A(x)=0 ou B(x)=0.

Mais fácil? Bem, ainda não sabemos se é possível passar sen5x+senx para a forma de produto, porém tente resolver sen5x+senx=0 antes da informação que Prostaférese auxilia e decida-se adiante o valor do ser ou não ser mais fácil.

  

Fórmula de Prostaférese para senos.

Exemplo — Transforme em produto: senx + seny
	Partimos das identidades: Se adicionarmos, membro a membro, as duas equações do sistema, chega-se: Chamando A + B por x e A - B por y, temos:

	Exemplo — Transforme em produto: senx – seny
	Partimos das identidades: Se subtrairmos, membro a membro, as duas equações do sistema, chega-se: Chamando A + B por x e A - B por y, temos:

Fórmula de Prostaférese para co-senos.

	Exemplo — Transforme em produto: cosx + cosy
	Partimos das identidades: Se adicionarmos, membro a membro, as duas equações do sistema, chega-se: Chamando A + B por x e A - B por y, temos:

	Exemplo — Transforme em produto: cosx – cosy
	Partimos das identidades: Se subtrairmos, membro a membro, as duas equações do sistema, chega-se: Chamando A + B por x e A - B por y, temos:

Fórmulas de Prostaférese

Como proposto anteriormente, resolverei a equação:

sen5x+senx=0

Pode-se transformar a equação em (veja a primeira identidade no quadro ao lado)

2⋅(sen3x)⋅(cos2x)=0

Assim, deve-se ter que sen3x=0 ou cos2x=0.

Veja cada um destes casos, detalhados a seguir (com a resolução em R).

1º caso : sen3x=0

O arco 3x é um múltiplo de 180° para que o seu seno seja nulo. Exemplos: 3x sen3x x 0º sen0° = 0 0º 180º sen180° = 0 60º 360º sen360° = 0 120° ... ... n.180° n.60º x = n.60° para todo inteiro n.

2º caso : cos2x=0

O arco 2x deve ser um número qualquer de (..., 90°, 270º, 450º, ...) para que o seu co-seno seja nulo. Exemplos: 2x cos2x x 90º cos90° = 0 45º 270º cos270º = 0 135º 450º cos450º = 0 225° ... ... 90º +n.180° 45° + n.90º x = 45° + n.90º para todo inteiro n.

 Cardica

É possível transformar uma dupla de seno e co-seno em um só co-seno. Basta determinar as constantes A, B e C para que a identidade abaixo seja válida.

Podemos também usar a identidade:

a⋅cos(Bx)+b⋅sen(Bx)=A⋅cos(Bx−C)

Teorema:

Sejam a e b números reais com a>0. Tem-se que é válido:

a⋅cos(Bx)+b⋅sen(Bx)=A⋅cos(Bx−C)

Para A=a2+b2−−−−−−√ e −π2<C<π2, com tanC=ba. 

Exemplo — Obter o conjunto imagem de f(x) = 3cos2x + 4sen2x.

Podemos usar o teorema anterior para transformar a lei de f:

a⋅cos(Bx)+b⋅sen(Bx)=A⋅cos(Bx−C)

Para A=a2+b2−−−−−−√ e −π2<C<π2, com tanC=ba.

Fazendo a=3, b=4, B=2 e considerando que A=32+42−−−−−−√=5 e também que tanC=43 (ou seja, C=arctan(43)).
Assim:

a⋅cos(Bx)+b⋅sen(Bx)=A⋅cos(Bx−C)

3⋅cos(2x)+4⋅sen(2x)=5⋅cos(2x−43)

Portanto, f(x)=5⋅cos(2x−arctan(43)) e como, para qualquer valor de x, temos que:

−1≤cos(2x−arctan(43))≤1

Multiplicando por 5:

5⋅(−1)≤5⋅(cos(2x−arctan(43)))≤5⋅1

−5≤5⋅cos(2x−arctan(43))≤5

−5≤f(x)≤5

f(x)=5⋅cos(2x−arctan(43))

Conclui-se que o conjunto imagem de f é o intervalo [−5,5].

Pesquisa realizada no site:

 http://www.profcardy.com