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quarta-feira, 1 de agosto de 2012

Sólidos Arquimedianos

Arquimedes (287a.c.-212a.c.), nascido em Siracusa,  é sem dúvida um dos maiores matemáticos de todos os tempos.
Foi graças aos engenhos de Arquimedes que a cidade de Siracusa, conseguiu resistir durante três anos, quando foi cercada pelos romanos.

Desenvolveu a Geometria da medida, por exemplo, a definição do número p e o conhecimento do princípio da Física que define a impulsão, tem o seu nome.

Os Poliedros Arquimedianos foram estudados, por Arquimedes no séc. III a. C.. O tratado em que a sua teoria foi exposta encontra-se perdido tal como grande parte das obras dos matemáticos gregos. E de novo, dois mil anos mais tarde, Kepler demonstrou a existência de treze sólidos de Arquimedes.
Existem ligações íntimas entre a família dos sólidos platónicos e a família dos arquimedianos. Por exemplo, efectuando cortes cada vez mais profundos (também chamados truncaturas) nos vértices de um cubo, podemos obter alguns sólidos arquimedianos. As faces dos poliedros arquimedianos são polígonos regulares, não tendo que ser, como no caso dos platónicos, todos iguais. As  condições exigidas, para que os sólidos sejam arquimedianos, são:
  • Os vértices são todos do mesmo tipo;
  • Todos os sólidos arquimedianos podem ser colocados dentro de um tetraedro regular, de modo que quatro das faces fiquem sobre as faces do tetraedro.
 Os treze sólidos Arquimedianos são os seguintes:

Tetraedro Truncado Cuboctaedro Octaedro Truncado
Cubo Truncado Grande Rombicuboctaedro Pequeno Rombicuboctaedro

Icosidodecaedro Icosaedro Truncado Dodecaedro Truncado

Cubo Achatado Pequeno Rombicosidodecaedro
Grande Rombicosidodecaedro Dodecaedro Achatado

Observação: Estes modelos de poliedros foram construídos por Tom Gettys do departamento de Matemática da California State University.
Na seguinte tabela poderá consultar o número de faces, arestas e vértices de cada um dos sólidos Arquimedianos e ainda quais os polígonos regulares que compõem as suas faces.
  Poliedro
 F
A
V
Composição
Tetraedro Truncado 8 18 12 4 Triângulos 4 Hexágonos
Cuboctaedro 14 24 12 8 Triângulos 6 Quadrados
Octaedro Truncado 14 36 24 6 Quadrados 8 Hexágonos
Cubo Truncado 14 36 24 8 Triângulos 6 Octógonos
Grande Rombicuboctaedro 26 72 48 12 Quadrados 8 Hexágonos
6 Octógonos
Pequeno Rombicuboctaedro 26  42 24 8 Triângulos 18 Quadrados
Icosidodecaedro 26 60 30 20 Triângulos 6 Pentágonos
Icosaedro Truncado 32 90 60 12 Pentágonos 20 Hexágonos
Dodecaedro Truncado 32  90 60 20 Triângulos 12 Decágonos
Cubo Achatado 38 60 24 32 Triângulos 6 Quadrados
Pequeno Rombicosidodecaedro 62 120 60 20 Triângulos 30 Quadrados
12 Pentágonos
Grande Rombicosidodecaedro 62 180 120 30 Quadrados 20 Hexágonos
12 Decágonos
Dodecaedro Achatado 92 150 60 80 Triângulos 12 Pentágonos

Repare que estes sólidos, à excepção do Pequeno Rombicuboctaedro e do Icosidodecaedro, também satisfazem a relação de Euler.
 
Planificações dos Sólidos Platónicos
Planificações:
Sólido:
Tetraedro:
É um poliedro regular com 4 faces sendo estas triângulos equiláteros, 4 vértices e 6 arestas. O Tetraedro pode formar-se a partir de um molde com quatro triângulos.
Cubo:
É um poliedro regular com 6 faces sendo estas quadrados, 8 vértices e 2 arestas. O cubo pode ser formado a partir de um molde com seis quadrados.
Octaedro:
É um poliedro regular com 8 faces sendo estas triângulos equiláteros, 6 vértices e 12 arestas. O octaedro pode ser formado a partir de um molde com oito triângulos equiláteros.
Icosaedro:
É um poliedro regular com 20 faces que são triângulos equiláteros, 12 vértices e 30 arestas. O icosaedro pode ser formado a partir de um molde de vinte triângulos equiláteros.
Dodecaedro:
É um poliedro regular com 12 faces que são pentágonos, 20 vértices e 30 arestas. O dodecaedro pode formar-se a partir de um molde com vinte pentágonos.

Duais dos Sólidos Platónicos?

O Dual de um Sólido é um outro sólido que se obtém unindo os pontos centrais das faces adjacentes do sólido original.
Dual do Octaedro
O Dual de um sólido Platónico é um sólido Platónico, observe a seguinte tabela:
Sólido
Dual

Tetaedro Tetaedro
Cubo Octaedro
Octaedro Cubo
Dodecaedro Icosaedro
Icosaedro Dodecaedro

A tabela também põe em evidência uma certa repartição dos 5 poliedros regulares em 3 classes:
  • Tetraedro (dual de si próprio)
  •  Cubo e Octaedro
  •  Dodecaedro e Icosaedro.
Se comparar o número de faces e de vértices entre os pares, Cubo/Octaedro e Dodecaedro/Icosaedro e, o número de faces e vértices do tetaedro chegará a uma conclusão interessante (consulte a tabela 2):
O número de faces e de vértices, do sólido e do seu dual, são iguais!

Fotografias Interessantes

Sólidos pertencentes a Platão
Alguns sólidos regulares
Os cinco Poliedros Platónicos


Cinco sólidos platónicos e a sua evolução.
sólido de Kepler

Os cinco elementos
O Cubo da Ribeirinha

            
  Pesquisa realizada no site:
http://avrinc05.no.sapo.pt

 

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