Sólidos Arquimedianos

Arquimedes (287a.c.-212a.c.), nascido em Siracusa,  é sem dúvida um dos maiores matemáticos de todos os tempos.
Foi graças aos engenhos de Arquimedes que a cidade de Siracusa, conseguiu resistir durante três anos, quando foi cercada pelos romanos.

Desenvolveu a Geometria da medida, por exemplo, a definição do número p e o conhecimento do princípio da Física que define a impulsão, tem o seu nome.

Os Poliedros Arquimedianos foram estudados, por Arquimedes no séc. III a. C.. O tratado em que a sua teoria foi exposta encontra-se perdido tal como grande parte das obras dos matemáticos gregos. E de novo, dois mil anos mais tarde, Kepler demonstrou a existência de treze sólidos de Arquimedes.

Existem ligações íntimas entre a família dos sólidos platónicos e a família dos arquimedianos. Por exemplo, efectuando cortes cada vez mais profundos (também chamados truncaturas) nos vértices de um cubo, podemos obter alguns sólidos arquimedianos. As faces dos poliedros arquimedianos são polígonos regulares, não tendo que ser, como no caso dos platónicos, todos iguais. As  condições exigidas, para que os sólidos sejam arquimedianos, são:

• Os vértices são todos do mesmo tipo;
• Todos os sólidos arquimedianos podem ser colocados dentro de um tetraedro regular, de modo que quatro das faces fiquem sobre as faces do tetraedro.

 Os treze sólidos Arquimedianos são os seguintes:

Tetraedro Truncado	Cuboctaedro	Octaedro Truncado

Cubo Truncado	Grande Rombicuboctaedro	Pequeno Rombicuboctaedro

Icosidodecaedro	Icosaedro Truncado	Dodecaedro Truncado

Cubo Achatado	Pequeno Rombicosidodecaedro

Grande Rombicosidodecaedro	Dodecaedro Achatado

Observação: Estes modelos de poliedros foram construídos por Tom Gettys do departamento de Matemática da California State University.

Na seguinte tabela poderá consultar o número de faces, arestas e vértices de cada um dos sólidos Arquimedianos e ainda quais os polígonos regulares que compõem as suas faces.

Poliedro	F	A	V	Composição
Tetraedro Truncado	8	18	12	4 Triângulos 4 Hexágonos
Cuboctaedro	14	24	12	8 Triângulos 6 Quadrados
Octaedro Truncado	14	36	24	6 Quadrados 8 Hexágonos
Cubo Truncado	14	36	24	8 Triângulos 6 Octógonos
Grande Rombicuboctaedro	26	72	48	12 Quadrados 8 Hexágonos 6 Octógonos
Pequeno Rombicuboctaedro	26	42	24	8 Triângulos 18 Quadrados
Icosidodecaedro	26	60	30	20 Triângulos 6 Pentágonos
Icosaedro Truncado	32	90	60	12 Pentágonos 20 Hexágonos
Dodecaedro Truncado	32	90	60	20 Triângulos 12 Decágonos
Cubo Achatado	38	60	24	32 Triângulos 6 Quadrados
Pequeno Rombicosidodecaedro	62	120	60	20 Triângulos 30 Quadrados 12 Pentágonos
Grande Rombicosidodecaedro	62	180	120	30 Quadrados 20 Hexágonos 12 Decágonos
Dodecaedro Achatado	92	150	60	80 Triângulos 12 Pentágonos

Repare que estes sólidos, à excepção do Pequeno Rombicuboctaedro e do Icosidodecaedro, também satisfazem a relação de Euler.

 

Planificações dos Sólidos Platónicos

Planificações:	Sólido:
	Tetraedro: É um poliedro regular com 4 faces sendo estas triângulos equiláteros, 4 vértices e 6 arestas. O Tetraedro pode formar-se a partir de um molde com quatro triângulos.
	Cubo: É um poliedro regular com 6 faces sendo estas quadrados, 8 vértices e 2 arestas. O cubo pode ser formado a partir de um molde com seis quadrados.
	Octaedro: É um poliedro regular com 8 faces sendo estas triângulos equiláteros, 6 vértices e 12 arestas. O octaedro pode ser formado a partir de um molde com oito triângulos equiláteros.
	Icosaedro: É um poliedro regular com 20 faces que são triângulos equiláteros, 12 vértices e 30 arestas. O icosaedro pode ser formado a partir de um molde de vinte triângulos equiláteros.
	Dodecaedro: É um poliedro regular com 12 faces que são pentágonos, 20 vértices e 30 arestas. O dodecaedro pode formar-se a partir de um molde com vinte pentágonos.

Duais dos Sólidos Platónicos?

O Dual de um Sólido é um outro sólido que se obtém unindo os pontos centrais das faces adjacentes do sólido original.

Dual do Octaedro

O Dual de um sólido Platónico é um sólido Platónico, observe a seguinte tabela:

Sólido	Dual
Tetaedro	Tetaedro
Cubo	Octaedro
Octaedro	Cubo
Dodecaedro	Icosaedro
Icosaedro	Dodecaedro

A tabela também põe em evidência uma certa repartição dos 5 poliedros regulares em 3 classes:

• Tetraedro (dual de si próprio)
•  Cubo e Octaedro
•  Dodecaedro e Icosaedro.

Se comparar o número de faces e de vértices entre os pares, Cubo/Octaedro e Dodecaedro/Icosaedro e, o número de faces e vértices do tetaedro chegará a uma conclusão interessante (consulte a tabela 2):

O número de faces e de vértices, do sólido e do seu dual, são iguais!

Fotografias Interessantes

Sólidos pertencentes a Platão	Alguns sólidos regulares
	Os cinco Poliedros Platónicos
Cinco sólidos platónicos e a sua evolução.
sólido de Kepler	Os cinco elementos
O Cubo da Ribeirinha

            

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