Facilitar cálculos sempre foi um incentivo para a pesquisa e
construção de máquinas ou métodos que diminuíssem os esforços e
permitissem maior rapidez e exatidão em operações.
Assim foi com o ábaco, as barras de Napier, réguas de cálculo, ... até
os computadores de hoje. Entre esses métodos estão os chamados nomogramas, que
são tipos de gráficos onde o resultado de operações é encontrado
utilizando uma régua ou qualquer outro instrumento que permita o traçado
de um segmento de reta.
Existem nomogramas para operações elementares como adição,
multiplicação, médias, hipotenusa de um triângulo retângulo e outros.
Adição
Vejamos o exemplo de um nomograma simples para adição de dois números reais.
Tome três eixos A, B, C, paralelos, equidistantes e perpendiculares a uma reta r dada. Seja d a distância entre eles. Graduamos os eixos com uma mesma unidade e marcamos 0 nos três eixos numa mesma horizontal. Nos eixos A e C, marcamos o número n (ou -n) a n unidades da origem. No eixo B, marcamos 2n (ou - 2n) a n unidades da origem. Veja a figura abaixo.
Para determinar a soma de dois números a e c, marcamos a no eixo A e c no eixo C. A soma a + c será determinada pela interseção da reta que une os pontos a e c com o eixo B.
Veja os exemplos, apresentados no nomograma acima:
1 + 3 = 4
-3 + 2 = -1
-1 + (-1) = -2
Por que isso funciona? A
explicação é bem simples e pode tomar dois enfoques distintos, um
algébrico e outro geométrico. Vejamos, inicialmente, o apelo algébrico:
Suponha que queremos encontrar a soma de dois números reais a e c. Consideremos a reta que passa pela origem dos três eixos como sendo o eixo x, e o eixo B como sendo o eixo y.
Assim, a reta que liga a com c é a reta que passa pelos pontos (-d, a) e (d, c). Sua equação é:
A interseção dessa reta com o eixo y é o ponto
Ou seja, a interseção nos dará a média aritmética de a e c. No eixo B, a
unidades da origem, está marcado o número a + c.
Claramente, pode-se encontrar também a diferença de dois números e e f, usando essa mesma construção. Basta marcar e no eixo B, f no eixo A, e ler a diferença d no eixo C, dada pela interseção desse eixo com a reta que passa por e e f. De fato, teríamos f + d = e, donde, d = e - f.
Para a argumentação geométrica, chamemos os pontos correspondentes aos números a e c de Pa e Pc . Observemos que há apenas três posições distintas para esses pontos:
a) Pa e Pc estão no mesmo semiplano determinado pelo eixo x.
OP é a base média do trapézio PaPcDD' e, portanto, mede
O número que aparece na posição P é o dobro desse, isto é, a + c.
b) Pa e Pc estão em semiplanos distintos em relação ao eixo x.
c) Um argumento semelhante aos anteriores pode ser usado se um dos pontos, Pa ou Pc, estiver no eixo x.
Vejamos a construção de um nomograma que fornece a hipotenusa de um triângulo retângulo se forem dados os catetos.
Como (hip)2 = (cat1)2 + (cat2)2, precisamos
realizar uma adição e, portanto, podemos tomar o modelo já visto. Mas,
como queremos somar quadrados de números, dessa vez nos eixos A e C escrevemos o número n a n2 unidades da origem e no eixo B escrevemos o número n a n2/2 unidades da origem.
Aos catetos 3 e 4 corresponde a hipotenusa 5 e aos catetos 8 e 5 corresponde a hipotenusa ≈ 9,4.
Detalhando:
PR tem 9 unidades; a R corresponde ao número 3.
QS tem 16 unidades; a S corresponde o número 4.
MT tem 25/2 = 12,5 unidades; a T corresponde o número 5.
Para a multiplicação de dois números positivos pode-se usar novamente o mesmo tipo de nomograma, lembrando que, se x . y = z, então log x + log y = log z , qualquer que seja a base do sistema de logaritmos. Nesse caso, para marcar os números nos eixos A e C , fixamos a origem em cada eixo e marcamos o número n a uma distância igual a log nunidades dessa origem. No eixo B marcamos o número n a uma distância igual a (1/2).log n unidades da origem. Uma figura, praticamente igual à de cima, mostrará por que tal nomograma funciona.
Gráficos como os apresentados neste artigo, ou nomogramas, destinam-se a calcular valores de funções ou resolver equações, através do traçado apenas de retas. Embora seus princípios básicos estejam implícitos em diversos instrumentos imaginados na antiguidade para resolver problemas isolados, o estudo sistemático de nomogramas surgiu em 1885, com C. Lallemande principalmente com Maurice d'Ocagne, que criou o termo "Nomografia" (M. d'Ocagne,Nomographie. Les calculs usuels effectués au moyen des abaques, Paris, 1891). Nos livros de língua inglesa, os nomogramas são conhecidos também como allignement charts. Até menos de meio século atrás, o estudo dos métodos da Nomografia (assim como do uso da "régua de cálculo", baseada em princípios semelhantes) fazia parte de um curso padrão de Cálculo Numérico, nos cursos técnicos das Universidades. Embora superados, em termos práticos, pelos computadores, os nomogramas constituem ainda instrumentos interessantes do ponto de vista didático. O leitor interessado pode consultar, por exemplo, o livro de J. Lipka, Graphical and Mechanical Computation, New York, 1918.
b) Pa e Pc estão em semiplanos distintos em relação ao eixo x.
CP é a base média do triângulo PaC'Pc. Portanto,
c) Um argumento semelhante aos anteriores pode ser usado se um dos pontos, Pa ou Pc, estiver no eixo x.
Cálculo da Hipotenusa
Vejamos a construção de um nomograma que fornece a hipotenusa de um triângulo retângulo se forem dados os catetos.
Aos catetos 3 e 4 corresponde a hipotenusa 5 e aos catetos 8 e 5 corresponde a hipotenusa ≈ 9,4.
PR tem 9 unidades; a R corresponde ao número 3.
QS tem 16 unidades; a S corresponde o número 4.
MT tem 25/2 = 12,5 unidades; a T corresponde o número 5.
Multiplicação
Para a multiplicação de dois números positivos pode-se usar novamente o mesmo tipo de nomograma, lembrando que, se x . y = z, então log x + log y = log z , qualquer que seja a base do sistema de logaritmos. Nesse caso, para marcar os números nos eixos A e C , fixamos a origem em cada eixo e marcamos o número n a uma distância igual a log nunidades dessa origem. No eixo B marcamos o número n a uma distância igual a (1/2).log n unidades da origem. Uma figura, praticamente igual à de cima, mostrará por que tal nomograma funciona.
Nota Histórica (de autoria de José Paulo Carneiro)
Gráficos como os apresentados neste artigo, ou nomogramas, destinam-se a calcular valores de funções ou resolver equações, através do traçado apenas de retas. Embora seus princípios básicos estejam implícitos em diversos instrumentos imaginados na antiguidade para resolver problemas isolados, o estudo sistemático de nomogramas surgiu em 1885, com C. Lallemande principalmente com Maurice d'Ocagne, que criou o termo "Nomografia" (M. d'Ocagne,Nomographie. Les calculs usuels effectués au moyen des abaques, Paris, 1891). Nos livros de língua inglesa, os nomogramas são conhecidos também como allignement charts. Até menos de meio século atrás, o estudo dos métodos da Nomografia (assim como do uso da "régua de cálculo", baseada em princípios semelhantes) fazia parte de um curso padrão de Cálculo Numérico, nos cursos técnicos das Universidades. Embora superados, em termos práticos, pelos computadores, os nomogramas constituem ainda instrumentos interessantes do ponto de vista didático. O leitor interessado pode consultar, por exemplo, o livro de J. Lipka, Graphical and Mechanical Computation, New York, 1918.
Artigo escrito por Marcelo Escudeiro Hernandes - RPM 32
Pesquisa realizada no site:
http://matematica.com.br
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