Infinitos primos

Uma das demonstrações mais engenhosas que se encontra na história da matemática foi feita por Euclides de Alexandria no século III a.C.

Euclides provou que existem infinitos números primos.

Euclides teria pensado assim, acompanhe seu raciocínio.

"Faz de conta que existe um número finito de números primos. Se for assim então deve existir um último número primo. Vou chamá-lo de p.
A seqüência de números primos até o p é a seguinte :

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, .. p

Depois disto Euclides imaginou um número composto muito grande formado pelo produto de todos os números primos, do primeiro ao último, ou seja, um "numerão" N, assim:
N = 2.3.5.7.11.13.17. . . . . p
Está claro que o número N é um número composto, pois é divisível por, 2, por 3, 5, 7, 11, e assim por diante, e finalmente é divisível por p até aqui considerado o "último " número primo.

Euclides não parou aí, pensou então num número ainda maior que N, pensou no número M assim formado.

M = 2.3.5.7.11.13.17. . . . . p + 1

Ora, pensou Euclides, M não pode ser múltiplo de 2.

Observe que M = 2.(3.5.7.11.13.17. . . . . p) + 1 é um número impar, quando dividido por 2 dá resto 1.
Também não é múltiplo de 3, dá resto 1 quando dividido por 3.
Usando um raciocínio semelhante concluiu que M não pode ser múltiplo de 5, de 7, 11, 13, 17, enfim, não é divisível por nenhum número primo menor ou igual a p.

Portanto o novo número M = 2.3.5.7.11.13.17. . . . . p +1 é um número primo ainda maior que p.

Frente a esta contradição Euclides concluiu que não pode haver um último número primo, sua hipóteses inicial, provou então que o número de primos é infinito.

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