Álgebra - determinantes

É possível resolver sistemas de equações no tabuleiro de xadrez?

 

   Na antiga matemática chinesa não existia a representação das variáveis por letras. Por isto, para representar e resolver sistemas de equações, foi desenvolvido um método de diagramas que deu origem a um novo conceito matemático. Nesses diagramas eram colocados apenas os coeficientes das variáveis e os termos independentes. Assim, resolvia-se então o sistema pelo método da álgebra do tabuleiro, em que a posição do número no diagrama indicava de qual termo (ou variável) se tratava.   Tal como no jogo de xadrez, em que a posição de cada peça é fundamental, é a posição do número no diagrama que soluciona o sistema. Vinte séculos depois, os matemáticos Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 a 1716) e Colin Maclaurin (1698 a 1746) retomaram esta ideia e, no final do século 17, elaboraram a Teoria dos Determinantes.

 Conceito de determinante

Observe o sistema: 3x + 2y = 9 2x – 2y = 1 Com a álgebra do tabuleiro, montamos o seguinte diagrama: 3 2 9 2 -2 1 Para eliminar y, somamos as linhas: 5/10 Em seguida calculamos o valor de x: 10:5 = 2 • Com os diagramas elaboramos matrizes. Dada uma matriz quadrada, chama-se determinante o número real a ela associado. Assim, se a matriz quadrada for de ordem 2, de ordem 3 ou de ordem n, falamos de determinantes de segunda ordem, de terceira ordem ou de ordem superior a três. • Há uma notação específica que pode ser utilizada para os determinantes. Como tomaria muito tempo escrever suas linhas e colunas toda vez que nos referimos ao determinante de uma matriz, usamos a seguinte notação: ou também, Det A

 Cálculo de determinantes

Determinantes de segunda ordem Dada uma matriz quadrada A de segunda ordem: O determinante desta matriz, ou determinante de segunda ordem, é o número que se obtém ao calcular a11a22 - a12a21; que é assim representado: As linhas e as colunas da matriz passam a se chamar linhas e colunas da matriz que gera o determinante. Determinantes de terceira ordem Para os determinantes de terceira ordem, é preciso introduzir dois termos novos: o menor complementar e o adjunto (ou cofator). Dada uma matriz quadrada de terceira ordem, dizemos que o menor complementar de qualquer de seus elementos é o determinante da matriz de segunda ordem obtido ao suprimirmos, na matriz original, a linha e a coluna onde o referido elemento se encontra. Para a notação, em geral, do menor complementar do elemento aij, usa-se Mij. Exemplo: O menor complementar de a23 (aij) é: Para a mesma matriz dada de terceira ordem, o adjunto ou cofator de um elemento qualquer da matriz é o menor complementar com sinal positivo ou negativo, segundo a posição que o elemento ocupa na matriz. Em geral, o adjunto do elemento aij é representado por Aij. Para saber o sinal que lhe caberá, existe um sistema: - Aij é positivo se a soma de i + j der um número par e será - negativo se a referida soma, i + j, for um número ímpar. Para todas as matrizes de terceira ordem, verifica-se a seguinte distribuição de sinais: Assim, dada a matriz A de terceira ordem: Calcular o adjunto de A23 e A31: Agora já estamos em condições de definir determinante de uma matriz de terceira ordem. Dada uma matriz quadrada de terceira ordem, chamamos determinante de terceira ordem o número obtido ao somarmos os resultados da multiplicação de cada elemento de suas filas, sejam elas linhas ou colunas, por seu adjunto. Se observarmos com atenção o desenvolvimento da fórmula, certamente não teremos qualquer dificuldade para entender a definição. Para a matriz: O valor de seu determinante de terceira ordem é: Para lembrar os seis termos e os respectivos sinais, que permitem calcular o determinante de terceira ordem, existem duas regras práticas: • Regra de Sarrus: os três produtos positivos correspondem ao produto dos elementos situados na diagonal principal e linhas paralelas a ela pelo elemento situado no vértice oposto e os três produtos negativos correspondem ao produto dos elementos situados na outra diagonal e linhas paralelas a ela pelo elemento situado no vértice oposto. Para enxergarmos mais claramente, observemos a Figura 1, abaixo Figura 1 • Outra regra prática para calcular esses determinantes consiste em repetir as duas primeiras linhas após escrever a terceira. Assim, os positivos serão os produtos dos termos da diagonal principal e das diagonais inferiores paralelas a ela, e os negativos serão os produtos dos termos da outra diagonal e das inferiores paralelas a ela. Observemos o determinante (quadro abaixo) e nas Figuras 2 e 3, abaixo: Figura 2 Figura 3 Determinantes de ordem superior a três Para definir e calcular os determinantes de matrizes quadradas de ordem superior a três, utilizaremos a definição dos determinantes de terceira ordem. Dada uma matriz quadrada de ordem n (ao lado). Seu determinante é a soma dos produtos dos elementos de uma fila pelos respectivos adjuntos:

Propriedades dos determinantes

Independentemente de qual seja sua ordem, os determinantes têm propriedades comuns: O determinante de uma matriz e o de sua matriz transposta são iguais. Isto nos permitirá, a partir de agora, falarmos das linhas e colunas sem necessidade de diferenciá-las, e poderemos nos referir a elas como as filas dos determinantes. O que for válido para as linhas também o será para as colunas, como no quadro abaixo: • Se uma fila de um determinante é formada por zeros, o valor deste determinante é zero: • Se um determinante tem duas filas iguais, seu valor é zero. Veja quadro abaixo. • Se uma fila de um determinante é a combinação linear das demais, isto é, se pudermos obter uma fila a partir das outras por meio de operações matemáticas, o valor do determinante é zero. No exemplo acima, podemos ver como a segunda linha pode ser obtida a partir da primeira multiplicada por 2. • Para multiplicar um determinante por um número, basta multiplicar uma fila qualquer do determinante por este número: • Em consequência da propriedade anterior, se uma fila do determinante, seja ela linha ou coluna, tem um fator comum, este fator comum pode ser retirado do determinante: • Se num determinante considerarmos uma fila como a soma de duas filas, o determinante é igual à soma de dois determinantes: • Se a uma fila de um determinante somarmos uma combinação linear de outras filas, o determinante não muda de valor: Aplicações dos determinantes Cálculo da matriz inversa Dada a matriz A, de terceira ordem e inversível, procuramos a matriz transposta da matriz A: Matriz A Matriz transposta de A • Achada a matriz transposta, calculamos a matriz de adjuntos da matriz transposta de A: • Calculamos em seguida o valor do determinante da matriz A como foi feito no item 2, desenvolvido anteriormente, e poderemos aplicar a seguinte fórmula: A-1 = (matriz de adjuntos de transposta) Det A Onde A–1 é a matriz inversa da matriz A, Det A é o valor do determinante da matriz A e (matriz de adjuntos da transposta) a representação da matriz de adjuntos da transposta.

Resolução de sistemas pelo Método de Cramer

O Método de Cramer é um sistema que tem tantas equações quanto incógnitas, e o determinante da matriz é diferente de zero. Para solucionar esse sistema, podemos achar o valor das incógnitas sabendo que cada incógnita é o quociente de dois determinantes. O denominador é sempre o determinante da matriz do sistema e o numerador é o determinante da matriz obtida ao substituirmos, na matriz do sistema, a coluna correspondente à incógnita pela coluna de termos independentes. Dado um sistema de três equações com três incógnitas: a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 = b1  a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 = b2 a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 = b3 E sendo a matriz do sistema: Considerando que temos de substituir na matriz do sistema a coluna correspondente à incógnita pela coluna de termos independentes, as soluções do sistema terão uma expressão, como a que está desenvolvida abaixo:

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