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terça-feira, 10 de abril de 2012

A regra dos 70

 Dias atrás presenciei uma conversa na qual um cliente perguntava, ao gerente de um banco, quanto tempo levaria para duplicar uma quantia a ser aplicada a uma taxa de i% ao mês. O gerente respondeu que esse tempo d é obtido, de forma aproximada, por
A_regra_dos_70-f_-_Microsoft_Word
Por exemplo, se a taxa de juros é de 14% ao ano, o tempo de duplicação é de aproximadamente 70/14 = 5 anos. Já a uma taxa de 6% ao ano, o tempo de duplicação é de aproximadamente 70/6 ≈ 11,7 anos.
Eu, muito curioso, pedi ao gerente uma explicação para o cálculo e ele me disse que "era uma regra usada em finanças conhecida como a regra dos 70". O porquê do  70  ele não sabia, mas dava certo.

Regra dos 70
 
"Para calcular o tempo aproximado de duplicação de um investimentodivida 70  pela taxa percentual anual de juros."
Vamos justificar o cálculo do gerente. Para isso, usaremos a função logaritmo natural de x, x > 0, denotada por ln(x) ,  que pode ser definida como sendo a função inversa da exponencial  ex.  Logo,
"o logaritmo natural de  x é a potência de  e necessária para se obter  x."
y = ln(x)   ↔  x = ey
Precisamos de uma forma prática para calcular o valor numérico do logaritmo, mesmo que aproximado. Usaremos a expressão apresentada, com notas históricas
A_regra_dos_70-f_-_Microsoft_Word_2
Tal expressão, conhecida como a série de Taylor da função ln(1 + x),  permite a aproximação ln(1 + x) ≈ x,  para  valores de  x positivos e próximos de  0.
Podemos também perceber essa aproximação graficamente:
Abaixo, temos os gráficos das funções y = ln(x), y = ln(1 + x) e y = x que fornecem uma justificativa gráfica para a aproximação ln(1 + x) ≈ x.
A_regra_dos_70-f_-_Microsoft_Word_4

Voltemos à regra dos 70.
Um capital  C, aplicado à taxa anual de  i % transforma-se, após 1 ano, em
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Após 2 anos teremos:
A_regra_dos_70-f_-_Microsoft_Word_6
De forma geral, a após t anos teremos:
A_regra_dos_70-f_-_Microsoft_Word_7
Logo, o tempo d necessário para duplicação do capital é obtido da equação:
A_regra_dos_70-f_-_Microsoft_Word_8
que implica,
A_regra_dos_70-f_-_Microsoft_Word_9
Usando a aproximação mencionada para o cálculo de ln(1 + i/100), tem-se ln(1 + i/100) ≈ i/100 e, sendo ln 2 ≈ 0,70, podemos escrever
A_regra_dos_70-f_-_Microsoft_Word_10
como o estabelecido na regras dos 70.
Na verdade, a regra dos 70 vale sempre que houver um crescimento exponencial com taxa de crescimento relativamente pequena. Por exemplo, se a taxa de crescimento da poapulaçoa de um país é de 3,5% ao ano, então a população dobrará em aproximadamente
A_regra_dos_70-f_-_Microsoft_Word_12
A regra também vale para estimar a meia-vida de uma quantidade  Q que decai exponencialmente com taxa de decrescimento de i% ao ano. Após  t anos, o valor da quantidade será
A_regra_dos_70-f_-_Microsoft_Word_13
A meia-vida é o valor t tal que
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o que implica
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e, então,
A_regra_dos_70-f_-_Microsoft_Word_18
pois para valores pequenos de x, vale aproximação ln(1 - x) ≈ -x


Pesquisa realizada no site:
http://matematica.com.br

2 comentários:

  1. Prezado autor do blog O Mundo da Matemática:

    Sou professor titular (por concurso) aposentado da UFCG-PB. Quando estava na ativa lecionei a disciplina Matemática Financeira durante 27 anos.

    Na Matemática Financeira existe outra regra que a Regra do 72. Envie-me, por favor, o seu e-mail que enviarei a regra para você avaliá-la. Caso a avaliação seja positiva, autorizo a publicação no seu blog.

    Atenciosamente

    Sebastião Vieira do Nascimento (Sebá)

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    1. Olá Sebastião nosso blog está disponível sempre para nossos seguidores e admiradores.

      Nosso email para contato é:omundoperfeitodamatematica@hotmail.com

      Um abraço

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