A regra dos 70

 Dias atrás presenciei uma conversa na qual um cliente perguntava, ao gerente de um banco, quanto tempo levaria para duplicar uma quantia a ser aplicada a uma taxa de i% ao mês. O gerente respondeu que esse tempo d é obtido, de forma aproximada, por

Por exemplo, se a taxa de juros é de 14% ao ano, o tempo de duplicação é de aproximadamente 70/14 = 5 anos. Já a uma taxa de 6% ao ano, o tempo de duplicação é de aproximadamente 70/6 ≈ 11,7 anos.

Eu, muito curioso, pedi ao gerente uma explicação para o cálculo e ele me disse que "era uma regra usada em finanças conhecida como a regra dos 70". O porquê do  70  ele não sabia, mas dava certo.

Regra dos 70

 

"Para calcular o tempo aproximado de duplicação de um investimento, divida 70  pela taxa percentual anual de juros."

Vamos justificar o cálculo do gerente. Para isso, usaremos a função logaritmo natural de x, x > 0, denotada por ln(x) ,  que pode ser definida como sendo a função inversa da exponencial  e^x.  Logo,

"o logaritmo natural de  x é a potência de  e necessária para se obter  x."

y = ln(x)   ↔  x = e^y

Precisamos de uma forma prática para calcular o valor numérico do logaritmo, mesmo que aproximado. Usaremos a expressão apresentada, com notas históricas

Tal expressão, conhecida como a série de Taylor da função ln(1 + x),  permite a aproximação ln(1 + x) ≈ x,  para  valores de  x positivos e próximos de  0.

Podemos também perceber essa aproximação graficamente:

Abaixo, temos os gráficos das funções y = ln(x), y = ln(1 + x) e y = x que fornecem uma justificativa gráfica para a aproximação ln(1 + x) ≈ x.

Voltemos à regra dos 70.

Um capital  C, aplicado à taxa anual de  i % transforma-se, após 1 ano, em

Após 2 anos teremos:

De forma geral, a após t anos teremos:

Logo, o tempo d necessário para duplicação do capital é obtido da equação:

que implica,

Usando a aproximação mencionada para o cálculo de ln(1 + i/100), tem-se ln(1 + i/100) ≈ i/100 e, sendo ln 2 ≈ 0,70, podemos escrever

como o estabelecido na regras dos 70.

Na verdade, a regra dos 70 vale sempre que houver um crescimento exponencial com taxa de crescimento relativamente pequena. Por exemplo, se a taxa de crescimento da poapulaçoa de um país é de 3,5% ao ano, então a população dobrará em aproximadamente

A regra também vale para estimar a meia-vida de uma quantidade  Q que decai exponencialmente com taxa de decrescimento de i% ao ano. Após  t anos, o valor da quantidade será

A meia-vida é o valor t tal que

o que implica

e, então,

pois para valores pequenos de x, vale aproximação ln(1 - x) ≈ -x

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