Apresentação
dos puzzles em metal
Quem alguma vez teve que deslocar
uma mesa de uma casa para outra ou ao longo de um corredor, sabe
que o espaço tridimensional reserva algumas surpresas que
quotidianamente passam despercebidas. Estas surpresas são bem
conhecidas dos "viciados" na resolução/construção
de puzzles de metal.
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Estes antigos ( e sempre actuais ) jogos artesanais
consistem numa estrutura composta por duas ou mais peças
de metal (fig. 1). Deste conjunto de peças entrelaçadas,
o jogador deve separar uma delas - a peça problema - do
resto do conjunto - a estrutura suporte - sem fazer
deformações ou cortes.
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A primeira impressão
que temos quando confrontados com um puzzle de metal parece
indicar que a peça problema não poderá sair da estrutura
suporte por se encontrar encerrada, mas a solução destes jogos
não encerra qualquer segredo ou arte mágica: trata-se apenas
de encontrar o caminho de saída que deve ser percorrido pela peça
problema ao longo da estrutura suporte.
No entanto, a busca
desse caminho põem o jogador frente a desconcertantes problemas
relacionados com o espaço tridimensional nos quais nunca havia
reparado.
A
melhor forma de encarar estes problemas é de uma forma lúdica:
experimentar até encontrar a solução. Durante as primeiras
tentativas o jogador pode ser confrontado com a solução de uma
forma totalmente casual e inadvertida, sem compreender como
conseguiu soltar a peça problema e sem saber como voltar à
posição inicial recolocando a peça problema. Estas situações
geram uma grande curiosidade que convida à prática do jogo e a
tentar compreender a sua lógica; chegamos ao ponto em que, como
em muitas situações análogas, o jogo encontra a Matemática.
Descrição
dos puzzles
O universo dos puzzles
de metal oferece uma rica variedade de jogos com estruturas e
formas diferentes. Vamos apenas focar a nossa atenção num
grupo de puzzles que compartilham o mesmo tipo de solução. O
representante canónico deste grupo de puzzles será o que podes
observar na figura 1.
Na
figura2 estão representados outros puzzles do mesmo tipo.
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Seleccionei
este grupo de puzzles para os estudar do ponto de vista
didáctico por considerar que as destrezas necessárias
à sua resolução são pré-requisitos para a resolução
de grande parte dos puzzles de metal. A estrutura
suporte destes puzzles é comum a uma grande variedade
de puzzles e algumas delas estão muito difundida.
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Em
todos os puzzles da figura 2 é apresentada uma situação como
a seguinte: Na estrutura suporte, que à primeira vista parece
formar um cerco sem saída, podemos encontrar certos locais críticos
por onde a peça problema pode escapar. Esses locais
encontram-se em sectores da estrutura suporte a que chamarei
"anel base" e "anel travão" (
figura 3).
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A
adequada disposição destes sectores configura um espaço
pelo qual a peça problema pode libertar-se da estrutura
suporte, mediante uma sequência de movimentos que,
neste caso, é a seguinte: Deslizar a peça problema ao
longo do segmento base, introduzir parcialmente a peça
problema no anel travão, rodear o anel base e voltar a
sair do anel travão (figura 4).
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À disposição das peças
da estrutura suporte e ao movimento da peça problema
para se libertar chamo solução tipo e constitui, com
as devidas particularidades, uma característica comum a
todos os puzzles apresentados na figura 2.
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Na
solução tipo deste conjunto de puzzles radica precisamente a
relação entre eles e os conhecimentos matemáticos, dado que
os puzzles de metal podem ser definidos como
"estruturas topológico-métricas", a
possibilidade de resolução deste tipo de puzzles requer que se
cumpram determinadas condições ao nível da sua estrutura, que
remetem para conhecimentos no âmbito da topologia e da
geometria.
Os
puzzles de metal como estruturas topológico/métricas
A
natureza topológica dos puzzles, isto é, a forma como as peças
se interlaçam, é de capital importância para a sua
caracterização. Além dos aspectos topológicos temos que ter
em conta aspectos relacionados com a forma e a medida das peças,
uma vez que o material de que são feitos é rígido e as regras
para a resolução destes jogos não permitem deformações como
as que são permitidas nas transformações topológicas.
Aspectos
topológicos
A topologia é o ramo
da Matemática que estuda as propriedades do espaço que
permanecem inalteradas quando neste se produzem determinadas
alterações chamadas transformações topológicas.
Do conjunto de
transformações topológicas possíveis, os alongamentos(estiramentos),
as contracções e as torções designam-se por transformações
contínuas, uma vez que não se produzem cortes nem
auto-intersecções.
Os puzzles de metal não
admitem estas transformações, mas por momentos, tomarei a
liberdade de os imaginar flexiveis para melhor analisar a sua
estrutura.
A
impressão de que estes puzzles são estruturas fechadas fica a
dever-se à rigidez do material com que foram construídos. Para
ver isto de uma forma mais clara, tomemos como exemplo um dos
puzzles da figura 2 e imaginemos que as suas peças são elásticas
(figura 5).
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Isto
permitiria separar as suas peças mediante transformações
topológicas contínuas e comprovar que se trata de uma
estrutura composta por peças individuais e
independentes que não se encadeiam.
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Poderíamos dizer, em certo sentido, que a peça
problema, na posição inicial do jogo, já se encontra separada
da estrutura suporte, uma vez que os estado inicial do puzzle da
figura 5 é topologicamente equivalente ao estado final, ao qual
se chegou sem necessidade de fazer qualquer corte de segmentos.
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Esta é uma condição topológica necessária para
que um puzzle de metal possa ser resolvido. Um
dos puzzles da figura 6 não cumpre esta condição logo
não pode ser resolvido. Qual deles é?
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Geometria
dos puzzles de metal
A análise topológica
feita anteriormente não explica tudo o que diz respeito aos
puzzles de arame. Há aspectos geométricos determinantes na
elaboração e resolução destes puzzles.
A
geometria é o ramo da Matemática que se encarrega do estudo
das formas e das medidas.
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Neste caso, as peças dos puzzles têm
formas e medidas que devem verificar uma certa relação entre
elas, de modo a cumprir uma dupla função: determinar o grau de
dificuldade do puzzle e fazer com que a sua resolução seja
possível. Veremos estes aspectos geométricos tomando como
exemplo o puzzle da figura 7.
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As restrições
geométricas (figura 8) que impedem uma solução
trivial são:
a) O diâmetro do anel base deve ser maior ou igual ao
diâmetro do anel travão. Isto impede que a estrutura
suporte se possa desmontar.
b)
O diâmetro maior da peça problema deve ser maior ou
igual ao diâmetro do anel travão. Isto impede a saída
da peça problema por simples deslizamento da mesma.
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Agora
veremos as relações geométricas que permitem que o puzzle
tenha solução (Figura 9). Estas encontram-se directamente
relacionadas com os movimentos necessários para libertar a peça
problema e estabelecem-se entre um determinado sector da peça
problema, que denominarei por sector chave, e o ponto crítico
da estrutura suporte.
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a) A forma e as dimensões do
sector chave da peça problema devem permitir a passagem
pelo anel travão.
b) O comprimento do sector chave
da peça problema deve ser maior que a distância que
existe entre o anel travão e os extremos salientes do
anel base.
c)
A forma e as dimensões do anel base devem permitir que
esse anel possa passar pelo interior do sector chave da
peça problema. |
Estas três condições
geométricas que permitem que o puzzle tenha solução devem
verificar-se simultaneamente, se uma delas não se cumprir o
puzzle não tem solução, é geometricamente impossível.
Os puzzles
apresentados na figura 2, apesar de terem formas diferentes,
respeitam estas três condições.
Apresentadas
as condições topológicas e geométricas para a construção e
resolução dos puzzles de metal, é possível combiná-las de
forma criativa para obter novos modelos de puzzles ou explorar
possíveis soluções de puzzles complexos a partir de outros
mais simples.
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Assegurando
que se mantêm as relações geométricas entre o sector
chave da peça problema e o ponto crítico da estrutura
suporte, um puzzle pode tomar diferentes formas,
mediante transformações contínuas, sem que se altere
a solução chave (figura 10).
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Imagens
de vários puzzles de metal
Pesquisa realizada no site:
http://matematica.no.sapo.pt
Professor Marconi Sousa dá dicas de resoluções matemáticas
