Dias atrás presenciei uma conversa na qual um cliente perguntava, ao gerente de um banco, quanto tempo levaria para duplicar uma quantia a ser aplicada a uma taxa de i% ao mês.
O gerente respondeu que esse tempo d é obtido, de forma aproximada, por
Por exemplo, se a taxa de juros é de 14% ao ano, o tempo de
duplicação é de aproximadamente 70/14 = 5 anos. Já a uma taxa de 6% ao
ano, o tempo de duplicação é de aproximadamente 70/6 ≈ 11,7 anos.
Eu, muito curioso, pedi ao gerente uma explicação para o cálculo e
ele me disse que "era uma regra usada em finanças conhecida como a regra
dos 70". O porquê do 70 ele não sabia, mas dava certo.
Regra dos 70
"Para calcular o tempo aproximado de duplicação de um investimento, divida 70 pela taxa percentual anual de juros."
Vamos justificar o cálculo do gerente. Para isso, usaremos a função logaritmo natural de x, x > 0, denotada por ln(x) , que pode ser definida como sendo a função inversa da exponencial ex. Logo,
"o logaritmo natural de x é a potência de e necessária para se obter x."
y = ln(x) ↔ x = ey
Precisamos de uma forma prática para calcular o valor numérico do
logaritmo, mesmo que aproximado. Usaremos a expressão apresentada, com
notas históricas
Tal expressão, conhecida como a série de Taylor da função ln(1 + x), permite a aproximação ln(1 + x) ≈ x, para valores de x positivos e próximos de 0.
Podemos também perceber essa aproximação graficamente:
Abaixo, temos os gráficos das funções y = ln(x), y = ln(1 + x) e y = x
que fornecem uma justificativa gráfica para a aproximação ln(1 + x) ≈
x.
Voltemos à regra dos 70.
Um capital C, aplicado à taxa anual de i % transforma-se, após 1 ano, em
Após 2 anos teremos:
De forma geral, a após t anos teremos:
Logo, o tempo d necessário para duplicação do capital é obtido da equação:
que implica,
Usando a aproximação mencionada para o cálculo de ln(1 + i/100), tem-se ln(1 + i/100) ≈ i/100 e, sendo ln 2 ≈ 0,70, podemos escrever
como o estabelecido na regras dos 70.
Na verdade, a regra dos 70 vale sempre que
houver um crescimento exponencial com taxa de crescimento relativamente
pequena. Por exemplo, se a taxa de crescimento da poapulaçoa de um país é
de 3,5% ao ano, então a população dobrará em aproximadamente
A regra também vale para estimar a meia-vida de uma quantidade Q que decai exponencialmente com taxa de decrescimento de i% ao ano. Após t anos, o valor da quantidade será
A meia-vida é o valor t tal que
o que implica
e, então,
pois para valores pequenos de x, vale aproximação ln(1 - x) ≈ -x
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