A Matemática como Ferramenta de Conscientização

  Hoje a humanidade vive um de seus maiores desafios ambientais: o Aquecimento Global. Mais do que isso, vive o desafio de lidar com a enorme responsabilidade de fazer parte deste processo, visto que suas atitudes colaboraram e colaboram até hoje para o aumento e a aceleração deste efeito natural.

    O alerta foi dado pelos cientistas há 30 anos, mas todos nós pensamos que era uma brincadeira. Doce ilusão... As conseqüências já estão sendo sofridas e as previsões não são nada animadoras. Mas nós podemos reverter este quadro se trabalharmos juntos e tomarmos consciência do efeito de nossas escolhas diárias no âmbito global.

    Cada uma das pequenas atitudes que executamos durante nosso dia tem reflexos importantes neste processo de aquecimento do planeta. Andar de carro, gastar energia, recolher o lixo, consumir água, consumir alimentos, utilizar embalagens, são exemplos de atividades comuns e diárias em nossas vidas e que têm influências no meio ambiente.

    Nós, professores e educadores, temos a missão de ensinar aos nossos alunos determinados conteúdos mas muito mais importante (ao meu ver) é ensiná-los a aprender, a pensar, a analisar e criticar as atitudes da humanidade e suas conseqüências. Ensiná-los da importância da paz, do amor, da solidariedade, da ajuda o próximo e da necessidade de preservar o planeta e conviver harmoniosamente com a natureza. Não precisamos ser professores de ciências ou filosofia para isso! Todos nós, educadores, independente da área de ensino em que atuamos temos meios de realizar esta tarefa tão importante!

    Por isso, este trabalho está sendo desenvolvido. O intuito é mostrar como a matemática pode ser utilizada como um meio de conscientizar a galerinha da necessidade de agirmos e escolhermos bem nossas atitudes. E, como tema central deste trabalho, está este nosso desafio: o Aquecimento Global.

    Abaixo, estão sendo propostos alguns problemas pensados por mim a partir de dados extraídos de revistas. São problemas simples, que podem ser trabalhados na escola com o objetivo de mostrar aos alunos que eles, seus pais, seus irmãos, seus avós, seus vizinhos, enfim, todo nós temos uma parcela de responsabilidade neste processo todo.

   Lembre-se de que esta é apenas uma sugestão de problemas. Você pode criar mais problemas ou desenvolver outras atividades em cima deste tema (ou de outros também)!

    Vamos todos trabalhar juntos para vencer este desafio!!

01. “Cada pessoa produz entre 300 gramas e 1 quilo de lixo por dia. Mas alguns países contribuem mais. Em 2003, somente os Estados Unidos geraram 236 milhões de toneladas apenas em lixo doméstico. Os aterros sanitários estão saturados. O índice de reciclagem ainda não é o bastante. Os EUA reciclam só 30% de seus resíduos.” Fonte: Revista Época, Outubro/2006.

 

Maria produz, em média, 500 gramas de lixo por dia. Ao descobrir que se reduzisse sua produção de lixo em 10% ao final de um ano ela  poderia evitar de jogar na atmosfera 550 quilos de dióxido de carbono, resolveu mudar seus hábitos e passou a produzir, em média, 300 gramas de lixo por dia. Ao final de um ano, quantos quilos de CO₂ ela terá evitado lançar na atmosfera?

 

02. “Uma mistura de gases poluentes produzidos por indústrias, automóveis e queimadas está levando a Terra a acumular mais calor do Sol. Nos próximos cem anos, a temperatura média deverá subir entre 1,4 e 5,8 graus Celsius. O derretimento das geleiras e a expansão térmica da água farão o mar subir até 25 metros.” Fonte: Revista Época, Outubro/2006.

 

João usa o carro de segunda à sexta para ir ao trabalho. Ele percorre, em média, 24 km por dia, gastando aproximadamente 3 litros de combustível diariamente. Sabendo que para cada litro de gasolina economizado, João evitaria lançar na atmosfera aproximadamente 3 quilos de dióxido de carbono (CO₂), qual a quantidade deste gás João deixaria de jogar na atmosfera se não usasse o carro duas vezes na semana?

        

03. “A erosão e o uso inadequado estão secando alguns dos principais rios do planeta, como o Amarelo, na China, e o Colorado, nos Estados Unidos. Em média 18% da população mundial tem de andar mais de 1 quilômetro a pé para buscar água. Para alimentar 1,1 bilhão de pessoas, a Índia retira mais água do subsolo do que as chuvas conseguem repor.”

 

Uma torneira pingando um pouco mais de uma gota por segundo desperdiça 0,0005325 litro de água por segundo. Quantos litros de água serão desperdiçados se a torneira permanecer aberta durante um dia inteiro?

                  

* Em seguida está uma lista de mais alguns dados sobre situações do dia-a-dia em que estamos envolvidos. Você pode pesquisar um pouco mais e conseguir mais dados para criar outras atividades e problemas:

ð Racionalize o uso de sacolas plásticas em lojas e supermercados (elas são um verdadeiro veneno para o meio ambiente) e reduza o consumo de embalagens. Comprar produtos a granel ajuda a diminuir este consumo. Os novos materiais como papéis plastificados dificultam a degradação natural e também a reciclagem. 

Evite utilizar materiais descartáveis. O copo plástico, por exemplo, demora 50 anos para se decompor na natureza!

            

ð Diminua em dois graus a temperatura de aquecedores, no inverno. Aumente dois graus o ar-condicionado no verão. Evitará, por ano, 990 quilos de dióxido na atmosfera.

 

ð “Se continuar no ritmo atual, em 2090 não haverá mais matas nativas. Nos últimos cinco anos, sumiram mais de 36 milhões de hectares de floresta no mundo. As maiores perdas foram na África, com redução de 3,2% da área total somente neste período. O desmatamento no norte da China é tão intenso que agrava inundações nas cidades da região.” Fonte: Revista Época, outubro/2006. 

Sabe-se que no município de São Paulo, a diferença de temperatura entre as áreas rurais e as menos arborizadas chega a 10 graus Celsius.  

Uma única árvore é capaz de absorver uma tonelada de dióxido de carbono ao longo de toda a vida.

                               

ð “Consuma menos carne. A pecuária bovina é a maior responsável pelo desmatamento no Brasil. Além disso, a produção de suínos e aves consome grande parte da produção de grãos, o que pressiona as florestas. A suinocultura também é responsável pela contaminação de rios, lagos e represas. Um porco produz dejetos equivalentes aos de oito seres humanos. Boa parte dos peixes e produtos marinhos é capturada por meio de técnicas predatórias, como o arrastão, e 30% do que vem na rede é jogado fora.” 

O metano é outro gás causador do efeito estufa. Ele tem um tempo de vida de 12 anos, enquanto o gás carbono permanece ativo por um século e existe em maior quantidade na atmosfera. Porém, cada molécula de metano é 23 vezes mais eficaz em aquecer o planeta do que a de gás carbônico. As emissões de metano são causadas por fenômenos naturais e também pelo homem. 

O gado envia 80 milhões de toneladas anuais de metano para atmosfera durante a ruminação. E o esterco acrescenta 25 milhões de toneladas. Cerca de 28% das emissões mundiais deste gás vem da pecuária.

               

 Pesquisa realizada no site:

http://www2.mat.ufrgs.br

Matematicamente eleito

Como se define isso?

Uma disputa está matematicamente definida quando não há possibilidade numérica de uma das partes escapar à derrota. Como as regras da competição podem modificar o algoritmo em questão, vamos apresentar dois exemplos.

Disputas eleitorais

  No Brasil, as eleições majoritárias não irão para 2° turno se um dos candidatos conseguir 50% dos votos válidos mais um.
  Matematicamente falando, então, o 1° turno já estará decidido quando um candidato obtiver um percentual de votos maior ou igual a 50% e a porcentagem de votos a ser ainda apurada for menor do que esta quantidade.
  Por exemplo, num certo momento da apuração, os votos contados chegaram a 86,7% do total.  Portanto, faltam contar 13,3% dos votos para se chegar à totalização.

  Se, nesse momento, um dos candidato tiver 63,3% dos votos, mesmo que todos os votos a apurar sejam dados a outro ou outros candidatos, a contagem do que está em 1º. lugar cairia de 63,3% para 50%, (63,3 - 13,3 = 50). Então, aquele candidato já está matematicamente eleito em 1° turno, pois ele obteve 50% dos votos.
  Vale lembrar que o "mais um" voto restante não está entrando na conta pois, num universo de milhões de eleitores, este um voto corresponde a um percentual, digamos, microscópico.
  No 1º. turno das eleições presidenciais de 2006, o primeiro colocado obteve 48,61% dos votos válidos. Para ele se eleger em 1° turno, faltou 1,39% dos votos.
  Assim, enquanto a apuração estivesse abaixo de 98,61% dos votos não se poderia afirmar que haveria 2° turno, pois, matematicamente, todos os votos restantes poderiam ser dados a ele, resultando em 50%.

Observe que 1,39 + 98,61 = 100 e que 1,39 + 48,61 = 50.

Para resolvermos a mesma questão com outros dados numéricos, devemos proceder a uma inequação.

Sendo x a porcentagem dos votos apurados num dado instante e y os votos do candidato mais bem colocado, para que a eleição vá para o 2° turno é preciso que:

100 - x < 50 - y, onde y < 50;

No 2° turno, vence quem tiver a maioria dos votos válidos, logo prevalece o raciocínio que apresentamos no exemplo a seguir, em que as regras da disputa são um pouco diferentes.

Campeonato de futebol

Imagine um torneio desse esporte em que os pontos são corridos, ou seja, não há um jogo final.

  Quando todos os jogos terminarem, o time que obtiver mais pontos é o vencedor. Cada jogo ganho vale 3 pontos.
  Num certo momento, o time A, que está em 1° lugar, possui uma diferença de, por exemplo, 18 pontos em relação ao time B, 2° colocado, e ainda faltam seis jogos a ser disputados.
  Nesse caso, o campeonato ainda não estará ganho por A, pois, continua havendo 18 pontos em jogo. Se B ganhar todos eles e A perder, os times chegarão empatados ao final.
  No entanto, se A ganhar mais um jogo, ele já está vitorioso matematicamente, pois B, ainda que vença as outras cinco partidas, não atingirá um número de pontos superior ao do rival.
  O campeonato vale 48 pontos. A tem 24 pontos e B tem 6. Ainda há 18 pontos em jogo. No caso de as vitórias serem todas de B, 6 + 18 = 24.

Caso A ganhe mais um jogo, ficaria com 27 pontos e restariam 15 pontos na disputa, então:

6 + 15 = 21 < 27

*Carlos Alberto Campagner é engenheiro mecânico, com mestrado em mecânica, professor de pós-graduação e consultor de informática.

 

 

Pesquisa realizada no site:

 http://educacao.uol.com.br

Estudantes se reúnem para treinar pelo ouro na Olimpíada Internacional de Matemática

A competição internacional acontece em julho na Argentina reunindo estudantes de mais de 100 países

   A equipe de estudantes que representará o Brasil na 53ª. Olimpíada Internacional de Matemática (IMO), em Mar del Plata, na Argentina, iniciou nesta terça-feira (19) a fase final do treinamento preparativo para a competição. O evento na  Argentina ocorrerá entre os dias 4 e 16 de julho próximo e reúne talentos para a matemática de mais de 100 países.

Seis estudantes formam a equipe brasileira: Rafael Kazuhiro Miyazaki (SP), Maria Clara Mendes Silva (MG), João Lucas Camelo Sá (CE), Henrique Gasparini Fiúza do Nascimento (DF), Franco Matheus de Alencar Severo (RJ) e Rodrigo Sanches Angelo (SP). Eles foram premiados na 33ª. Olimpíada Brasileira de Matemática (OBM) em 2011 e selecionados por meio da aplicação de provas e listas de exercícios, além de considerar a pontuação conquistada na disputa nacional. Os estudantes serão acompanhados pelos professores, Luciano Castro (RJ) e Carlos Shine (SP).

   O período de preparação para a Olimpíada Internacional de Matemática será intenso, segundo o coordenador-geral da OBM, Carlos Gustavo Moreira. "Todos os dias serão realizados simulados da prova na parte da manhã e aulas de preparação à tarde. O maior objetivo é fazer os ajustes finais para a competição internacional e colocar os estudantes para treinar juntos", disse.

  Além da equipe da IMO, foram convocadas ao treinamento as equipes brasileiras que participarão da Olimpíada de Matemática do Cone Sul e da Olimpíada de Matemática da Comunidade dos Países de Língua Portuguesa. Ambas as competições serão realizadas ainda este ano no Peru e em Salvador (BA), respectivamente.

Sobre a IMO

 
   A Olimpíada Internacional de Matemática é o maior evento educacional do gênero do mundo, realizada desde 1959, a competição envolve hoje a participação de cerca de 600 estudantes entre 14 e 19 anos de idade, que fazem provas em dois dias consecutivos. Em cada dia, os concorrentes resolvem provas com três problemas, com valor de sete pontos cada, aplicados em quatro horas e meia de prova, abrangendo as disciplinas de Álgebra, Teoria dos Números, Combinatória e Geometria. O Brasil participa do evento desde 1979, conquistando desde então o total de 96 medalhas, sendo 8 de ouro, 26 de prata e 62 de bronze.

   A participação brasileira na competição é organizada pela Olimpíada Brasileira de Matemática, iniciativa que tem desempenhado um importante papel em relação à melhoria do ensino e descoberta de talentos para a pesquisa em matemática nas modalidades de ensino fundamental, médio e universitário nas instituições públicas e privadas de todo o país.

   A OBM é um projeto conjunto do Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada (IMPA) da Sociedade Brasileira de Matemática (SBM) e conta com o apoio do Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico (CNPq/MCTI) e do Instituto Nacional de Ciência e Tecnologia de Matemática (INCT–Mat). 

Para outras informações visite: www.obm.org.br

Pesquisa realizada no site:

 http://www.obm.org.br

Arcos e cordas

Conceitos de desenho geométrico

As propriedades geométricas das figuras podem ser determinadas por meio das construções geométricas feitas com régua e compasso. Desde Euclides (300 a.C.), sabe-se que a geometria e o desenho geométrico se completam e se reforçam, exemplificando inúmeras e utilíssimas aplicações.

A geometria descreve e verifica as propriedades de entes que, no desenho, proporcionam a construção e a obtenção de lugares geométricos. Um lugar geométrico é o conjunto de pontos que apresentam uma determinada propriedade: se um certo ponto possui a propriedade X, então ele pertence ao lugar geométrico dos pontos que satisfazem X.

Alguns lugares geométricos são bem conhecidos:

circunferência : lugar geométrico dos pontos de um plano que são eqüidistantes de um ponto dado chamado centro da circunferência - a distância constante é a medida do raio;

mediatriz: lugar geométrico dos pontos do plano que são eqüidistantes dos extremos de um segmento;

r: reta mediatriz do segmento - conforme a definição, r deve passar pelo ponto médio de de modo perpendicular a ele (fig. 1): essas são as propriedades desse lugar geométrico;

bissetriz interna de um ângulo: lugar geométrico dos pontos do plano que são eqüidistantes em relação aos lados do ângulo.

Circunferências - arcos e cordas
Duas cordas com um extremo comum determinam, em uma circunferência, um ângulo inscrito, e sua medida é a metade da medida do arco compreendido pelas cordas:

, teorema do ângulo inscrito.
= ângulo inscrito.
= arco de extremos A e B que passa por P.

Arco capaz
Qualquer par de cordas com um extremo comum, que determine o mesmo arco na circunferência, determinará também o mesmo ângulo inscrito:



Uma característica interessante decorrente dessa situação é que qualquer ponto Q no arco proporciona , ou seja, qualquer ponto Q sobre o arco "enxerga" o segmento segundo um ângulo , então, é o arco capaz de em relação ao segmento . Esse resultado é muito importante na determinação de ângulos entre retas secantes a circunferências, em problemas de tangência e concordância.

Pode-se definir arco capaz na seguinte situação: dado um segmento de reta e um ângulo , chamamos arco capaz de em relação a ao lugar geométrico dos pontos sob os quais se vê o segmento AB segundo o ângulo .

Semelhança de triângulos e uma decorrência importante
Voltando-se aos dois pares de cordas na circunferência; vê-se que têm intersecção P.


Observe-se que, além de vale também (ângulos opostos pelo vértice). Tem-se, assim, dois triângulos (APC e BPD) com dois pares de ângulos correspondentes congruentes, o que garante que os triângulos são semelhantes. Desse modo, PA . PB = PC . PD. O que esse resultado indica?
Observe que, fixando-se um ponto I no interior de uma circunferência, o produto PA . PB é constante, qualquer que seja a corda passando por P.
O produto PA . PB é denominado potência do ponto P em relação a essa circunferência, e vale para pontos internos ou externos a ela.



Triângulo retângulo
Retomando-se as condições do teorema do ângulo inscrito, o que acontece se as extremidades não comuns das cordas forem extremos de um diâmetro da circunferência?

Observe: C é um ponto qualquer da circunferência; A e B são extremos de um diâmetro.


, mas = 180^o; logo, = 90^o.
Ou seja, o triângulo ABC é retângulo.

Veja as conclusões decorrentes desse resultado:

a semicircunferência é o lugar geométrico dos pontos que vêem um diâmetro sob ângulo de 90^o (é o arco capaz de 90^o em relação ao diâmetro);

um triângulo é inscritível em uma semicircunferência se e somente se é retângulo;

se o triângulo é retângulo, seu circuncentro coincide com o ponto médio da hipotenusa (podendo-se provar o item seguinte);

se o triângulo é acutângulo, o circuncentro é um ponto interno ao triângulo, e se é obtusângulo, o circuncentro é externo).

Você pode demonstrar cada uma dessas proposições usando régua e compasso. 

Pesquisa realizada no site:

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