Conceitos de desenho geométrico
As propriedades geométricas das figuras podem ser determinadas por meio
das construções geométricas feitas com régua e compasso. Desde Euclides
(300 a.C.), sabe-se que a geometria e o desenho geométrico se completam e
se reforçam, exemplificando inúmeras e utilíssimas aplicações.
A geometria descreve e verifica as propriedades de entes que, no desenho, proporcionam a construção e a obtenção de lugares geométricos. Um lugar geométrico é o conjunto de pontos que apresentam uma determinada propriedade: se um certo ponto possui a propriedade X, então ele pertence ao lugar geométrico dos pontos que satisfazem X.
Alguns lugares geométricos são bem conhecidos:
A geometria descreve e verifica as propriedades de entes que, no desenho, proporcionam a construção e a obtenção de lugares geométricos. Um lugar geométrico é o conjunto de pontos que apresentam uma determinada propriedade: se um certo ponto possui a propriedade X, então ele pertence ao lugar geométrico dos pontos que satisfazem X.
Alguns lugares geométricos são bem conhecidos:
Circunferências - arcos e cordas
Duas cordas com um extremo comum determinam, em uma circunferência, um ângulo inscrito, e sua medida é a metade da medida do arco compreendido pelas cordas:
, teorema do ângulo inscrito.
= ângulo inscrito.
= arco de extremos A e B que passa por P.
Arco capaz
Qualquer par de cordas com um extremo comum, que determine o mesmo arco na circunferência, determinará também o mesmo ângulo inscrito:
Uma característica interessante decorrente dessa situação é que qualquer ponto Q no arco proporciona , ou seja, qualquer ponto Q sobre o arco "enxerga" o segmento segundo um ângulo , então, é o arco capaz de em relação ao segmento . Esse resultado é muito importante na determinação de ângulos entre retas secantes a circunferências, em problemas de tangência e concordância.
Pode-se definir arco capaz na seguinte situação: dado um segmento de reta e um ângulo , chamamos arco capaz de em relação a ao lugar geométrico dos pontos sob os quais se vê o segmento AB segundo o ângulo .
Semelhança de triângulos e uma decorrência importante
Voltando-se aos dois pares de cordas na circunferência; vê-se que têm intersecção P.
Observe-se que, além de vale também (ângulos opostos pelo vértice). Tem-se, assim, dois triângulos (APC e BPD) com dois pares de ângulos correspondentes congruentes, o que garante que os triângulos são semelhantes. Desse modo, PA . PB = PC . PD. O que esse resultado indica?
Observe que, fixando-se um ponto I no interior de uma circunferência, o produto PA . PB é constante, qualquer que seja a corda passando por P.
O produto PA . PB é denominado potência do ponto P em relação a essa circunferência, e vale para pontos internos ou externos a ela.
Triângulo retângulo
Retomando-se as condições do teorema do ângulo inscrito, o que acontece se as extremidades não comuns das cordas forem extremos de um diâmetro da circunferência?
Observe: C é um ponto qualquer da circunferência; A e B são extremos de um diâmetro.
, mas = 180o; logo, = 90o.
Ou seja, o triângulo ABC é retângulo.
Veja as conclusões decorrentes desse resultado:
Você pode demonstrar cada uma dessas proposições usando régua e compasso.
Pesquisa realizada no site:
http://educacao.uol.com.br
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