Dia Mundial da Água: Matemática reduz em 43% risco de contaminação da água

O Departamento de Engenharia Florestal da Universidade de Brasília (UnB) criou uma fórmula matemática que permite aos produtores rurais reduzirem em até 42,7% os riscos de contaminação da água por causa do uso de pesticidas.

A aplicação da equação é útil, por exemplo, para a avaliar o perigo de contaminação do lençol freático que irriga as bacias de abastecimento das cidades.

A equação foi criada após pesquisa de campo em cinco lavouras de culturas diferentes na Bacia do Ribeirão Pipiripau, no Distrito Federal, que abastece a população da cidade-satélite de Planaltina, a cerca de 40 quilômetros do Plano Piloto. A pesquisa ainda não foi publicada.

Contaminação por pesticidas

O modelo matemático, chamado Modelo de Avaliação e Manejo do Risco de Contaminação da Água por Pesticidas (Arca), calcula o risco de contaminação ao multiplicar os índices de vulnerabilidade dos recursos hídricos à contaminação (por causa da distância em relação à lavoura, composição do solo e ao manejo de plantio) pelo índice do potencial de contaminação dos produtos químicos usados (mobilidade, persistência e toxidade do inseticida, herbicida ou fungicida).

De acordo com o pesquisador responsável pelo estudo, Henrique Chaves, qualquer agricultor pode calcular os eventuais riscos de contaminação. "Ele vai ver em quanto foi reduzido o risco de contaminação, substituindo produtos mais tóxicos, móveis ou mais persistentes".

Segundo Chaves, por causa de sua atividade os produtores rurais conhecem as informações que compõem o índice de vulnerabilidade e podem saber o efeito dos princípios ativos dos pesticidas no meio ambiente com base nos dados registrados no Ministério da Agricultura, Pecuária e Abastecimento.

"No futuro, a gente poderá listar na internet todos os produtos licenciados no Brasil com o respectivo potencial de contaminação", prevê o pesquisador ao salientar que, ao calcular o risco não significa que a contaminação ocorra de fato, ou que se possa concluir que os pesticidas estão "bem menos agressivos que no passado".

Pesticidas na água

Conforme o pesquisador, o modelo matemático serve para orientar o agricultor e evita a necessidade de tratamento futuro da água. "Uma vez que chega na água [o pesticida], é muito difícil retirá-lo por meio dos tratamentos convencionais que temos no Brasil, como, por exemplo, a purificação de água nas estações de tratamento".

Para incentivar inovações que preservem os corpos hídricos, a Agência Nacional de Águas (ANA) mantém, em dez estados, o Programa Produtor de Água para pagamento de serviços ambientais. Atualmente, o programa apoia, orienta e certifica projetos que visem à redução da erosão e do assoreamento de mananciais no meio rural.

Pesquisa realizada no site:

 http://www.inovacaotecnologica.com.br

Geometria Fractal

 Visão geral dos seus aspectos

Mandelbrot

0 - Fractal -> Benoit Mandelbrot introduziu o termo Fractal em 1975 para denominar uma classe especial de curvas definidas recursivamente que produziam imagens reais e surreais. Uma estrutura geométrica ou física tendo uma forma irregular ou fragmentada em todas as escalas de medição.

1 - Geometria Fractal -> Estuda subconjuntos complexos de espaços métricos.

Na geometria de fractais determinísticos, os objetos estudados são subconjuntos gerados por transformações geométricas simples do próprio pbjeto nele mesmo.

O objeto é composto por partes reduzidas dele próprio

2 - Sistema Dinâmico -> São processos que envolvem o tempo: evolução de planetas, reações químicas, crescimento do sistema biológicos, etc...

3 - Iteração -> São cada uma das iterações dos Sistemas Dinâmicos, ou seja cada uma das suas repetições. Na biologia representa uma repetição sucessiva do processo ou uma geração.

4 - Órbitas -> São os resultados sucessivos das iterações sucessivas (os seus valores sucessivos ). Se o sistema dinamico produzir pontos é chamada de órbita cada um desses ponto.

5 - Órbita Estável -> São os resultados dos Sistemas Dinâmicos que convergem ao final do processo.

6 - Sistemas Dinâmicos Estável ou Instaveis -> São os que tem órbitas estáveis ou instáveis respectivamente. 

O conjunto de pontos cujas órbitas são instáveis são chamadas de Conjuntos Caóticos.

Fractais são conjuntos caóticos dos sistemas dinâmicos, por exemplo os conjuntos de Julia de Mandelbrot são figuras geradas pelas orbitas caóticas de um sistema dinamico.

Os conjuntos de Julia estão estritamente conectados ao conjuntos de Mandelbrot.

Esses conjunto são o resultado da iterações do sistema definido pela função:

{ cx = x * xscale + left e cy = y * yscale + top }

onde x e y representamas partes real e imagináriade um n úmero.

Para Julias no lugar de ( cx, cy ) coloca-se ( zx, zy ) e cx = parte real da constante que você quer usar (por exemplo 0.11031), cy = parte imaginaria da constante que você quer usar (por exemplo 0.67037). Cada conjuntos de Julia esta associado com cx e cy de determinado um ponto genérico de Mandelbrot.

7 - Conjunto Caótico no Plano -> O Mapa de Hénon é a execução de um processo de dois parâmetros ( duas variáveis ) repetidas vezes.

Mapa de Hénon

8 - Caos -> É a condição de não previsibilidade de determinados fenômenos, tanto da natureza quanto através de uma expressão matemática.

9 -Fractal Floco de Neve -> Proposta por Von Koch em 1904, tem a seguinte geração:

desenhe uma linha e a divida em 3 partes iguais (d = 1/3 * r) d= escala da reta e r= comprimento inicial depois faça o terço central da reta ser substituindo por dois pedaços, repita o processo infinitamente.

10 - Curva de Peano -> Conhecida também como "curva de Hilbert" é mostrada na figura abaixo.

11 - Espaços das Fractais -> A fractal é um elemento do espaço dos fractais.

Um expaço X é um conjunto e os pontos do espaço são os elementos do conjunto.

Exemplo de conjunto: X = R (conjunto dos números reais)

e Exemplo de ponto: x pertence R ( é um número real, um ponto na reta).

-Um Espaço é Linear: quando a adição de dois elementos do espaço também pertence ao espaço. E a multiplicação de um elemento do espaço por um escalar também pertence ao espaço.

- Espaço é chamado Vetorial quando ele é Linear, ou seja espaços lineares e vetoriais são sinônimos.

O simbolo: A/B indica os membros do conjunto A que não são membros de B.

- Espaços Métricos são espaços vetoriais que tem uma noção de distância entre dois pontos chamadas de métrica.
É denotado por:

{d: X x X -> R}
Em outras palavras é um espaço X com uma função de valores reais, que mede a distância entre dois pontos (d = métrica).
- Transformações : são associações entre pontos de espaço.
- Transformações Contínuas: são aquelas em que os pontos vizinhos permanecem vizinhos>p> Geno de uma Figura: é o número de buracos (vazados ) de uma figura ou de uma figura na qual ela possa ser transformada por uma transformação continua, ou seja através de uma função contínua.
Por exemplo o Geno do R²é zero, pois ele pode ser transformado em um esfera e esta tem Geno zero.
- Geodésia: é o menor caminho entre dois pontos em um espaço.

- Espaços Homeomórfos: dois espaços métricos (x1, d1) e (x2, d2) são homeomorfos se existir uma função { f:x1 -> x2} que transforme um deles no outro.

12 - Transformação na Reta -> É a transformação em um espaço métrico (X,d) é uma função f : 

X -> X que relaciona exatamente um ponto f(x) pertence X a cada ponto x pertence X.

13 - Transformação Afim -> R é uma transformação na forma : f(x) = ax + b onde a e b são constantes reais.

14 - Transformação Polinomial -> F : R -> R de grau N pode produzir até (n-1) dobras. Quando desejar obter um efeito especial em uma imagem "Dobrar a Imagem", basta utilizar a fórmula da transformação polinomial.

15 - Transformação Linear -> É a transformação afim em que t = 0, transformam paralelograma em paralelograms com origens no mesmo ponto.

16 - Transformação de MÖBIUS -> Esta transformação mapeia o plano complexo na esfera, conhecida como projeção estereográfica. Exemplo típico são as bolas de Natal que espelham o que está de fora para dentro delas (Inversão na esfera).

Trans.MÖBIUS

17 - Transformações Analíticas -> A transformação é analítica se for contínua e se comportar localmente como uma similitude (é uma transformação generalização da transformação de Möbius).

18 - Mapeamento de Contração no Espaço das Fractais -> A fractal determinística como o ponto fixo de uma transformação de contração em ( H(X), h(d)) se for o espaço dos compactos do espaço métrico (X,d) e h(d) a métrica de Hausdorff.

19 - Hyperbolic Iterated Function System (IFS) ou sistemas de funções iterativas hiperbólicas -> Em vez de trabalhar com linhas como no Sistema-L, os IFS substituem polígonos por outros polígonos adequados a escala e transladados do polígono gerador. 

Usam sistemas de funções para descrever as transformações que ocorrerão no conjunto inicial.

Exemplo mais tipico é o da geração folha de samambaia:

O sistema gerado por um algoritmo semelhante mas ramdomico ("Random Iteration Algorithm" ) funciona calculando repetidamente séries de orbitas descrevem as posições de um ponto de coordenadas x y.

Gerando uma samambaia.

As figuras abaixo são exemplos de arquivos IFS gerados pelo Software CHAOS.

20 - L-System ou "Sistemas de Lindenmeyer" -> É uma ferramenta muito util para a criação de objetos realísticos que acontecem na natureza em particular estruturas de ramificação de plantas.

Tivemos aqui na UFF nos ultimos anos dois trabalhos de fim de curso que trataram da implementação de sistemas deste tipo.

Um deles levou a geração so software EasyTree para geração de arvores, plantas e arbustos.

O outro possibilita a geração tridimensional atraves de gráficos tartaruga de objetos.

Um símbolo ou objeto é gerado a cada repetição de acordo com algumas regras de substituição.

Suponha que F quer dizer avance e desenhe uma linha reta,

Suponha que + quer dizer gire de 90 graus para a direita
e Suponha que - quer dizer gire para a esquerda de 90 graus.
Por exemplo:
Considere a geração inicial (chamada axioma) F+F+F+F
e uma regra que dica para voce reescrever cada F por uma outra seguencia
F -> F+F-F-FF+F+F-F
depois de uma repetição resultaria a linha seguinte : F+F-F-FF+F+F-F + F+F-F-FF+F+F-F + F+F-F-FF+F+F-F + F+F-F-FF+F+F-F
para a próxima repetição a mesma regra seria aplicada ... e o resultado :
F+ F-F-FF+ F+ F-F+ F+ F-F-FF+ F+ F-F-F+ F-F-FF+ F+ F-F-F+ F-F-FF+ F+ F-FF+ F-F-FF+ F+ F-F+ F+ F-F-FF+ F+ F-F+ F+ F-F-FF+ F+ F-F-F+ F-F-FF+ F+ F-F+ F+ F-F-FF+ F+ F-F+ F+ F-F-FF+ F+ F-F-F+ F-F-FF+ F+ F-F-F+ F-F-FF+ F+ F-FF+ F-F-FF+ F+ F-F+ F+ F-F-FF+ F+ F-F+ F+ F-F-FF+ F+ F-F-F+ F-F-FF+ F+ F-F+ F+ F-F-FF+ F+ F-F+ F+ F-F-FF+ F+ F-F-F+ F-F-FF+ F+ F-F-F+ F-F-FF+ F+ F-FF+ F-F-FF+ F+ F-F+ F+ F-F-FF+ F+ F-F+ F+ F-F-FF+ F+ F-F-F+ F-F-FF+ F+ F-F+ F+ F-F-FF+ F+ F-F+ F+ F-F-FF+ F+ F-F-F+ F-F-FF+ F+ F-F-F+ F-F-FF+ F+ F-FF+ F-F-FF+ F+ F-F+ F+ F-F-FF+ F+ F-F+ F+ F-F-FF+ F+ F-F-F+ F-F-FF+ F+ F-F
Usando outras regra de substituição diversas figuras podem ser geradas como as mostradas na figura seguinte:

21 - Dimensão Euclidiana -> - Um objeto de 1 dimensão (por exemplo uma linha), pode ser dividido em N partes , cada parte será idêntica a anterior multiplicada por um fator ( r = 1/N e N * r¹ = 1 ).

- Um objeto de 2 dimensões (por exemplo um quadrado), cada parte será idêntica a anterior multiplicada por um fator ( r = 1/N e N * r²=1).

- Um objeto de 3 dimensões (por exemplo um cubo), cada parte será idêntica a anterior e a original multiplicada por um fator ( r = 3v 1/N e N * r³=1 ).

22 - Dimensão Fractal-> É obtida por medições experimentais 

   Em ambos os casos são obtidos por a subdivisão sucessiva da figura cuja dimensao se deseja calcular.   

  A Dimensão Fractal aproximada do clássico conjunto de Cantor pode ser obtida lembrando seu processo de geracao.
  Como ele é gerado através da subdivisao de uma reta em 3 partes iguais, e cada iteração é igual a duas partes da próxima iteração. Vemos que precisamos de duas partes para reconstruir o todo e cada parte é igual a anterior dividida por 3. Esse exemplo,a dimensao do conjunto será ln 2/ ln 3.

  Em imagens e texturas utiliza-se da técnica de Box Counting para determinação da dimensão fractal do objeto,essa técnica vem sendo pesquisado na UFF desde 1994 e já deu origem a diversos trabalhos, papers, disertações e teses. Atualmente a DF esta sendo pesquisada para catacterizar texturas multi bandas de imagens genéricas da superficie terrestre.

  Neste método é utilizado um sistema de coordenadas cartesianas para facilitar a divisão da figura em espaços e conta-se o número de caixas quadradas de lado 1/2n, que a interceptam a figura. A dimensão fractal será fornecida pela análise dos dados relativo ao numero dos box que interceptama figura e seus lados . Pode-se, a partir desses dados, obter-se um gráfico, do qual, retirar-se-á o valor da dimensão fractal pelo coeficiente angular da reta que passar pelos pontos experimentais. O valor da dimensão fractal, neste caso é retirada da equação da reta que melhor se ajustar aos pontos experimentais, de seu coeficiente angular (a) -> y = a x - b onde a = DF . 

  A lacunariade é um aspecto que complementa a DF na caracterização de texturas.

Pesquisa realizada no site:

 http://www.ic.uff.br/~aconci/aula1.html

- leia mais.... -

Arquitetura e Geometria Fractal

Fusão de conceitos para volumetria diferenciada

Fractal é o termo criado em 1975 por Benoít Mandelbrot para descrever toda estrutura geométrica não euclidiana de formas similares e repetitivas, independente da escala.

Provavelmente se você já viu, ou ouviu falar deste termo, foi relacionado àquelas imagens psicodélicas que nos causam uma pequena ilusão de ótica, mas, será que já associou tal termo à Arquitetura e Urbanismo?

Fractal gerado por computador e Fractal Natural. Nota-se o padrão de repetição.

Já na antiguidade Fibonacci, com a sequência de números Fibonacci (a mesma que define a proporção áurea), mostrou que a matemática pode definir formas (fractais) aplicáveis em todo o nosso universo; no entanto, o conhecimento específico neste campo da geometria somente pôde ser desenvolvido após a descoberta e uso do computador. Sabe-se também que tal conceito relaciona-se diretamente com as teorias da Complexidade, Chaos, Catástrofe e outros fenômenos não-lineares ou não previsíveis. Para entender melhor como surgem tais formas, veja o vídeo abaixo:

Se portanto a matemática e geometria fractal definem formas aplicáveis ao nosso universo, ela também pode definir a forma de edificações e cidades inteiras. Frank Lloyd Wright, “inconscientemente”, já aplicava tal conceito em sua composições artísticas, como resultado de tal uso da geometria, temos hoje a primazia de suas igrejas barrocas. Porém, como o conceito de Fractais somente foi propriamente definido em 1975, o verdadeiro marco para a Arquitetura foram as obras de Peter Eisenman (House XI, 1978) e o Moving Arrows, Eros and Other Errors, 1985, que acabou premiado na 3ª Bienal de Veneza. Em ambas as obras, a repetição de um padrão geométrico compondo a forma final da edificação é notável à distância.

House XI e “Moving Arrows, Eros, and other Errors” – Peter Eisenman

Já nos dias de hoje esse conceito, ainda que gerando polêmicas e discussões entre arquitetos, matemáticos e pesquisadores da área, é aplicado constantemente em projetos arquitetônicos e, ainda que experimentalmente, gera resultados plausíveis e agradáveis ao olho humano, a exemplo disso, temos o “Cubo d’água” e o ‘Ninho do Pássaro’ da PTW Archtects utilizado nas últimas olimpíadas, bem como a obra abaixo, do grupo Serero Archtects, que utilizou um padrão fractal , estilizou o mesmo e conseguiu uma composição harmoniosa e equilibrada.

Auditório Saint Cyprien – Serero Archtects.

A aplicação fractal na arquitetura, no entanto, não se dá apenas com a estilização de padrões fractais existentes, mas também com a repetição de formas geométricas básicas que em conjunto acabam por compor novos volumes, como ocorre no projeto abaixo, a Federation Square em Melbourne, do LAB Architecture Studio. Obviamente nada é tão simples como parece, para se chegar à um padrão fractal através de formas simples a utilização de computadores é indispensável, já que os cálculos necessários para tanto são dignos dos engenheiros da NASA (Okay! Exagerei!), mas, isso explica o fato de o conceito Fractal ter sido desenvolvido mais recentemente.

Federation Square

Não obstante o resultado visual da obra com aplicações da geometria fractal, também é possível dizer que, a níveis de estabilidade estrutural, os padrões geométricos são perfeitos, assim, uma edificação que é projetada com base nos princípios fractais, acaba por ter sua estrutura definindo sua volumetria e vice-versa.

Pavilhão Swoosh, Inglaterra. AA School. (Qualquer semelhança com as espirais formadas pela série Fibonacci não é mera coincidência.)

No campo urbanístico também há estudos da aplicação fractal, pesquisadores como Longley e Frankhauser (1994), comprovaram que as cidades possuem características comuns aos fractais, tais como, principio de distribuição dos elementos (casas e edifícios) em larga escala, organização hierárquica interna, não homogeneidade e fragmentação. A exemplo disso, temos a imagem abaixo com uma simulação de fractais comparada com um modelo de urbanização de uma cidade real (Longley, 1994) e um estudo de aplicação fractal e modelos de padrões fractais aplicáveis ao projeto urbano.

Simulação de padrões fractais aplicáveis ao urbanismo

Alunos do mestrado da AA School, aplicaram os estudos de Longley em um projeto que, apesar de um tanto utópico, propõe a união das edificações com seu entorno, não apenas na plasticidade e volumetria como também nas funções, melhorando a circulação de pessoas e acaba por mostrar como os fractais podem definir espaços e organizar uma cidade.

Processo de interlaçar os edifícios com a paisagem, e alguns procedimentos fractais.

Resta a nós imaginar se um dia teremos a difusão desse conceito aplicado à concepção projetual nas escolas de arquitetura brasileiras.

Pesquisa realizada no site:

 http://www.arquitetonico.ufsc.br/arquitetura-e-geometria-fractal

TOP 10: Os matemáticos mais importantes da história

10- RENÉ DESCARTES

                                                            

 

NACIONALIDADE Francês

GRANDE FEITO Criou a geometria analítica no século 17

Responsável por representar os números naquele gráfico com eixos x e y, batizado de cartesiano em sua homenagem. A geometria analítica revolucionou a matemática, tornando mais fácil "enxergar" relações entre números e compreender conceitos abstratos. Descartes morreu de pneumonia no castelo da rainha Cristina da Suécia, que o contratou como professor de filosofia.

9- HENRI POINCARÉ

                                                          

NACIONALIDADE Francês

GRANDE FEITO Inventou a topologia algébrica no século 19

A partir dele, passou-se a classificar sólidos imaginários como cubos, esferas e cones por meio de teoremas. Com a topologia algébrica, é possível demonstrar, por exemplo, como uma caneca é a deformação da metade de um aro - seja lá o que isso quer dizer... A conjectura (hipótese não comprovada) que ele propôs em 1904 só foi resolvida em 2006.

8- EUCLIDES

                                                         

NACIONALIDADE Grego

GRANDE FEITO Fundamentou a geometria no século 3 a.C.

Seu livro Elementos, com os fundamentos da geometria clássica, ainda é leitura obrigatória entre os matemáticos. Na obra de 23 séculos atrás estão compilados seus axiomas - verdades lógicas que valem até hoje. Um exemplo de axioma é "pode-se traçar uma única reta ligando quaisquer dois pontos". A obra- prima de Euclides é o segundo livro mais traduzido da história, atrás apenas da Bíblia.

7- AL-KHWARIZMI

                                                              

 

NACIONALIDADE Persa

GRANDE FEITO Criou bases teóricas para a álgebra moderna no século 8

Ele fundamentou a matemática ocidental. Sua obra descreve métodos para resolver equações lineares e quadráticas, como ensinam na escola até hoje. O italiano Fibonacci levou os ensinamentos de Khwarizmi para a Europa, propagando o uso de numerais arábicos e dos algarismos de 0 a 9 para representá-los.

6- ARQUIMEDES

                                                          

NACIONALIDADE Grego

GRANDE FEITO Aplicou a geometria na prática no século 3 a.C.

O principal matemático da Antiguidade uniu o mundo abstrato dos números com o mundo real. É considerado pai da mecânica por estudar forças, alavancas e densidade de materiais. Foi o primeiro

a notar a relação constante entre o diâmetro e o raio de qualquer circunferência: o número π (pi). Arquimedes também era inventor. Entre seus trabalhos estão o parafuso de Arquimedes, usado para tirar água de dentro de navios, e o aperfeiçoamento da catapulta.

5- ISAAC NEWTON

                                                             

NACIONALIDADE Inglês

GRANDE FEITO Criou o cálculo no século 17

Responsável por avanços científicos que mudaram a humanidade, como a lei da gravitação universal, Newton também era um matemático notável, considerado um dos inventores do cálculo - disciplina avançada da matemática, ensinada em cursos superiores específicos. Sem o cálculo seria impossível medir precisamente o volume de objetos curvos ou calcular a velocidade de objetos em aceleração.

4- GOTTFRIED LEIBNIZ

                                                        

                                                           

NACIONALIDADE Alemão

GRANDE FEITO Criou o cálculo no século 17

Não era popular como Newton, mas quem o conheceu compara seu gênio ao de Da Vinci. Leibniz aprofundou o conceito de grandezas infinitesimais, ou seja, infinitamente pequenas - que pelo nome podem até não parecer, mas são muito relevantes na matemática. Newton acusou Leibniz de plágio, mas ficou comprovado que ambos desenvolveram estudos sobre o cálculo ao mesmo tempo, chegando às mesmas conclusões

3- ÉVARISTE GALOIS

                                                            

                                                  

NACIONALIDADE Francês

GRANDE FEITO Criou as estruturas algébricas no século 19

Rebelde e genial, é o único grande matemático cuja obra não tem erros, talvez por ser muito curta. Seu principal trabalho foi em polinômios e estruturas algébricas, o que o levou a solucionar problemas matemáticos em aberto desde a Antiguidade. Especialistas acreditam que se não tivesse morrido aos 21 anos - em um duelo -, seria o número um da nossa lista.

2- CARL GAUSS

                                                             

                                                         

NACIONALIDADE Alemão

GRANDE FEITO Mais completo matemático da primeira metade do século 19

O "príncipe dos matemáticos" publicou, aos 21 anos, sua obra-prima sobre teoria dos números. Morreu aos 77 anos como o maior generalista da matemática, contribuindo em áreas como estatística, análise, geometria diferencial e geodésia, para citar poucas. A extinta nota de dez marcos alemã trazia um retrato do matemático com uma de suas "invenções": a curva de Gauss, que sempre aparece em gráficos estatísticos.

1- LEONHARD EULER

                                                        

NACIONALIDADE Suíço

GRANDE FEITO Revolucionou quase toda a matemática no século 18

Seus quase 800 livros fundamentaram campos que seriam estudados futuramente, como topologia, e revolucionou quase todos os que já estavam em voga, como cálculo e funções. Ao solucionar um problema que envolvia sete pontes que ligavam duas ilhas na cidade de Königsberg, antiga Prússia, fundou a teoria dos grafos, que possibilitou o surgimento da topologia e é usada hoje, por exemplo, para

montar as tabelas do Campeonato Brasileiro! Euler ficou cego aos 50 anos e passou a ditar seus textos ao filho. Muitos matemáticos avaliam que seu trabalho ficou mais rico após perder a visão.

- O matemático francês François Arago declarou que Euler calculava sem esforço, "como os homens respiram e as águias mantêm-se no ar"

 Autor: Bruno Lazaretti

Pesquisa realizada no site:

 http://mundoestranho.abril.com.br/

Curiosidades na Matemática

O que é um Número Capicua?

  Um número é Capicua é um número que se lê do mesmo modo da esquerda para a direita ou da direita para a esquerda. Por exemplo 77, 434, 6446, 82328.

 Para obteres um número capicua a partir de outro, inverte-se a ordem dos algarismos e soma-se com o número dado, um número de vezes até que se encontre um número capicua.

Exemplo:

Partindo do número 84 ,

84 + 48 = 132;

132 + 231 = 363, que é um Número Capicua.

Conheces o Número Mágico?

1089 é conhecido como o Número Mágico. Vê porquê.

Escolhe qualquer número de três algarismos distintos, por exemplo, 875.

Escreve este número de trás para frente: 578

Subtrai o maior do menor.
875 - 578 = 297

Agora inverte também esse resultado (792) e soma as duas parcelas.

297 + 792 = 1089   => O Número Mágico!!!!

Experimenta!!

Quanto vale um centilhão?

O maior número aceite no sistema de potências sucessivas de dez, é o Centilhão, (registrado  pela primeira vez em 1852). Representa a centésima potência de um milhão, ou seja, o número 1 seguido de 600 zeros (apenas é utilizado na Grã-Bretanha e na Alemanha).

Data histórica: 20/02 de 2002.

Quarta-feira, dia 20 de Fevereiro de 2002 foi uma data histórica. Durante um minuto, houve uma conjunção de números que somente ocorre duas vezes por milénio.

Essa conjugação ocorreu exactamente às 20 horas e 02 minutos de 20 de Fevereiro do ano 2002, ou seja, 20:02 20/02 2002.

 É uma simetria que na matemática é chamada de capicua (algarismos que se leêm do mesmo modo da esquerda para a direita, e vice-versa). A raridade deve-se ao facto de que os três conjuntos de quatro algarismos são iguais (2002) e simétricos entre si (20:02, 20/02 e 2002).

A última ocasião em que isso ocorreu foi às 11h11 de 11 de Novembro do ano 1111, formando a data 11h11 11/11/1111.

A próxima vez será somente às 21h12 de 21 de Dezembro de 2112 (21h12 21/12/2112). Provavelmente não estaremos aqui para presenciar.  

Depois, nunca mais haverá outra capicua. Em 30 de Março de 3003 não ocorrerá essa coincidência matemática, já que não existe a hora 30.

  

Vê o que acontece se multiplicarmos 37 por Múltiplos de 3.

                                 

  Pesquisa realizada no site:

http://sites.google.com/site/jornaldematematica/

Infinitos primos

Uma das demonstrações mais engenhosas que se encontra na história da matemática foi feita por Euclides de Alexandria no século III a.C.

Euclides provou que existem infinitos números primos.

Euclides teria pensado assim, acompanhe seu raciocínio.

"Faz de conta que existe um número finito de números primos. Se for assim então deve existir um último número primo. Vou chamá-lo de p.
A seqüência de números primos até o p é a seguinte :

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, .. p

Depois disto Euclides imaginou um número composto muito grande formado pelo produto de todos os números primos, do primeiro ao último, ou seja, um "numerão" N, assim:
N = 2.3.5.7.11.13.17. . . . . p
Está claro que o número N é um número composto, pois é divisível por, 2, por 3, 5, 7, 11, e assim por diante, e finalmente é divisível por p até aqui considerado o "último " número primo.

Euclides não parou aí, pensou então num número ainda maior que N, pensou no número M assim formado.

M = 2.3.5.7.11.13.17. . . . . p + 1

Ora, pensou Euclides, M não pode ser múltiplo de 2.

Observe que M = 2.(3.5.7.11.13.17. . . . . p) + 1 é um número impar, quando dividido por 2 dá resto 1.
Também não é múltiplo de 3, dá resto 1 quando dividido por 3.
Usando um raciocínio semelhante concluiu que M não pode ser múltiplo de 5, de 7, 11, 13, 17, enfim, não é divisível por nenhum número primo menor ou igual a p.

Portanto o novo número M = 2.3.5.7.11.13.17. . . . . p +1 é um número primo ainda maior que p.

Frente a esta contradição Euclides concluiu que não pode haver um último número primo, sua hipóteses inicial, provou então que o número de primos é infinito.

Pesquisa realizada no site:

 http://www.matematicahoje.com.br