A importância do resto da divisão

Resto da divisão

   São poucos os momentos em que refletimos sobre os mecanismos que temos na matemática para realizar nossas continhas. Portanto, devemos nos atentar para o significado de todos os números que estão sendo envolvidos nesses procedimentos matemáticos.
   Um dos elementos que merece a devida atenção é o resto da divisão, muitas das vezes esquecido e mal interpretado. Por conta disso veremos situações em que o resto deve ser analisado e interpretado de acordo com a situação em que a divisão é utilizada.

Veja os cálculos que dois alunos efetuaram de um mesmo problema.

“A escola ABCDEFGH levará seus 895 alunos para uma viagem e para isso alugará vários ônibus. Em cada ônibus cabem no máximo 50 pessoas, quantos ônibus a escola irá alugar?”

 

   Note que os dois alunos dividiram de maneira igual e obtiveram o mesmo resultado, porém eles chegaram a respostas diferentes, confira a resposta de Pedro:

“Como obtive um quociente de 17, a escola deverá alugar apenas 17 ônibus.”

Lucas respondeu:

“Eu acho que não, Pedro, pelos meus cálculos a escola deverá alugar 18 ônibus.”

Pare e reflita sobre a conclusão desses dois alunos, qual você acredita que está correto?

Os dois amigos continuaram conversando sobre esse problema, com isso Lucas indagou seu amigo Pedro: “Pedro, quantas pessoas podem ir dentro de 17 ônibus?”.

Pedro respondeu: “Hmmmm, em cada ônibus cabem 50 pessoas, nos 17 ônibus cabem 17x50 que é igual a 850. Então em 17 ônibus cabem 850 pessoas!”.

Com isso Lucas questionou seu amigo novamente: “E quantas pessoas irão para essa viagem? Você tem certeza que somente 17 ônibus conseguirão levar todo mundo?”.

Com isso Pedro admitiu que tinha se equivocado nos seus cálculos.

Vejamos o que Pedro se esqueceu de analisar na sua divisão. Para isso, devemos compreender o que cada número dessa divisão representa:

 

   O número 895 (dividendo) representa a quantidade total de alunos, enquanto que o número 50 (divisor) representa a quantidade de alunos em cada ônibus. Ao multiplicarmos 50 por 17 obtemos 850 que é a quantidade máxima de alunos em 17 ônibus. Subtraindo 895 por 850, obtemos 45, que na nossa divisão é o resto.
   Esse número 45 merece uma atenção especial, pois ele não é apenas um número. Ele representa alguma coisa, mas que coisa é essa? Note que o “45” surgiu da subtração de dois números que representam pessoas! Portanto, ignorar esse resto é o mesmo que falar que 45 pessoas não irão ao passeio, pois 17 ônibus comportam apenas 850 alunos. Por isso Pedro falou que eram necessários 18 ônibus para esse passeio, para que os outros 45 alunos não ficassem sem viajar.
   Dessa forma, é importante saber o significado de cada número da nossa divisão, para que possamos compreender o que o número obtido no resto significa de fato no cálculo.

  Autor: Gabriel Alessandro de Oliveira

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A equação do amor

 

  A matemática é uma ciência que muitos odeiam, sentem pavor só de ouvir seu nome, terminam suas vidas com um sentimento de desprezo por equações, expressões, sentenças e problemas. Por outro lado, há pessoas que a admiram, têm verdadeira adoração pelos seus mistérios, teoremas e axiomas, conseguem ver em suas entrelinhas inspiração para relatos de amor e paixão. Galileu Galilei descreve sua admiração pela matemática com o célebre pensamento: “A matemática é o alfabeto com o qual Deus escreveu o universo”. Seguindo a linha dos que têm muito apreço por essa ciência fascinante, vamos exibir uma equação que poderá servir para conquistar alguns corações, mesmo daqueles que ainda não sentiram brotar no peito a paixão pela matemática. Reparem na beleza da estruturação e mais ainda no resultado final, uma verdadeira declaração de amor.

Vamos considerar os números reais positivos a, t, e, o, m. Obteremos o valor real de x na equação:

Vamos elevar os dois membros da igualdade ao quadrado, obtendo:

Multiplicando ambos os membros por mo (sendo mo ≠ 0), obtemos:

Considerando a ≠ 0, vamos dividir os dois lados da igualdade por a, obtendo:

  Autor: Marcelo Rigonatto

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A matemática e o número que você calça

Relação entre o número que você calça e o tamanho de seu pé.

Muitas vezes não entendemos os motivos de se estudar matemática ou quando vamos usar determinada parte do conteúdo e, por isso, nos questionamos: onde a matemática é realmente aplicada?

Inúmeros são os exemplos e situações onde podemos ver o emprego da matemática. Desde o momento em que acordamos até a hora de dormir, estamos sempre fazendo o uso dessa ciência. Quando, ao levantar pela manhã para ir à escola ou fazer qualquer atividade, dizemos “só mais cinco minutinhos”, intuitivamente estamos realizando cálculos matemáticos para averiguar se esses preciosos minutos de sono não ocasionarão um atraso. A tecnologia não estaria tão avançada sem o fantástico auxílio da matemática. Do mais simples ato até a mais sofisticada empregabilidade, a matemática está sempre presente em nosso cotidiano, basta que analisemos as situações que vivenciamos.

Por mais inimaginável que possa parecer, o número que você calça também está relacionado à matemática. Existe uma fórmula que relaciona o número que você calça e o tamanho do seu pé em centímetros.

Vejamos:

Onde,

S: é o número do sapato.
p: é o comprimento do pé em centímetros.

Assim, se seu pé medir 20 cm, o número do seu sapato será:












                                                                                                                                                                                                                          
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A matemática e a informática trabalhando juntas

  Nos dias de hoje a matemática ainda é vista como uma disciplina teoricamente de difícil entendimento, para os estudantes tanto de primeiro, segundo e terceiro graus. Algumas pessoas encontram facilidades para aplicar a matemática em resoluções de situações problemas nas escolas, por outro lado, outras já encontram um pouco mais de dificuldade.
Professores de matemática procuram, nos dias atuais, tentar diminuir os problemas encontrados no ensino, de forma mais dinâmica e que desperta o interesse e o espirito de investigação dos alunos. Grandes ferramentas pedagógicas, no ensino da matemática, estreitam a relação de professor aluno tornando as aulas mais dinâmicas e interativas, diminuindo, assim, possíveis dificuldades na aprendizagem da matemática.
  Atualmente existem vários softwares de matemática que realizam diversas funções, além de mecanismos que são de mais claro entendimento para os alunos, devido nossa sociedade estar cada vez mais ligada as grandes mudanças promovidas pela aceleração tecnológica que encorporam a informática.
  Conseguimos, por exemplo, trabalhar com programas de edição de planilhas com o estudo matemático, feito com matrizes, funções,…
  O desenvolvimento de métodos de aprendizagem informatizado aplica-se nos diferentes campos da matemática como: funções, derivadas, integrais, taxas de variação, geometria analítica, …. Gráficos ficam mais detalhados e com o aspecto visual de mais fácil esclarecimento, como gráficos de função, interseção de retas, equações trigonométricas, distância entre pontos, calculo de áreas e superfícies.
Encontramos todo esse material na web, que é um outro mecanismo matemático envolvente cujo as propriedades matemáticas passam despercebidas, como o download de um determinado arquivo, por exemplo, que contém uma certa quantidade de armazenamento calculada em diferentes unidades: kilo,mega, ultra, hiper, micro, giga….
 O reflexo dessa associação da matemática com a informática, facilita o aprendizado escolar para que esse, ganhe propriedade e torne referência na matemática usada diariamente.
  A matemática necessita da informática , quando por exemplo essa é aplicada na educação escolar, no inicio da aprendizagem, quando ainda crianças, temos a necessidade de encontrar argumentos práticos para serem associados a matemática, conhecendo assim de forma bem mais clara, certas definições que complementam o estudo, essa conexão é realizada também enunciando a maneira prática de conectarmos e enfatizarmos ao ensino da  matemática as práticas da informática, através de materiais concretos. Nesse caso a informática que faz esse papel de conexão com programas e artifícios para melhor qualificar as práticas educacionais da informática na matemática.

Autor:Gláucio da Silva Freitas

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Desafio da família

O casal Silva tem vários filhos. Cada filha tem o mesmo número de irmãos e irmãs, e cada filho tem duas vezes mais irmãs do que irmãos. Quantos filhos e filhas existem na família?

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Sólidos Arquimedianos

Arquimedes (287a.c.-212a.c.), nascido em Siracusa,  é sem dúvida um dos maiores matemáticos de todos os tempos.
Foi graças aos engenhos de Arquimedes que a cidade de Siracusa, conseguiu resistir durante três anos, quando foi cercada pelos romanos.

Desenvolveu a Geometria da medida, por exemplo, a definição do número p e o conhecimento do princípio da Física que define a impulsão, tem o seu nome.

Os Poliedros Arquimedianos foram estudados, por Arquimedes no séc. III a. C.. O tratado em que a sua teoria foi exposta encontra-se perdido tal como grande parte das obras dos matemáticos gregos. E de novo, dois mil anos mais tarde, Kepler demonstrou a existência de treze sólidos de Arquimedes.

Existem ligações íntimas entre a família dos sólidos platónicos e a família dos arquimedianos. Por exemplo, efectuando cortes cada vez mais profundos (também chamados truncaturas) nos vértices de um cubo, podemos obter alguns sólidos arquimedianos. As faces dos poliedros arquimedianos são polígonos regulares, não tendo que ser, como no caso dos platónicos, todos iguais. As  condições exigidas, para que os sólidos sejam arquimedianos, são:

• Os vértices são todos do mesmo tipo;
• Todos os sólidos arquimedianos podem ser colocados dentro de um tetraedro regular, de modo que quatro das faces fiquem sobre as faces do tetraedro.

 Os treze sólidos Arquimedianos são os seguintes:

Tetraedro Truncado	Cuboctaedro	Octaedro Truncado

Cubo Truncado	Grande Rombicuboctaedro	Pequeno Rombicuboctaedro

Icosidodecaedro	Icosaedro Truncado	Dodecaedro Truncado

Cubo Achatado	Pequeno Rombicosidodecaedro

Grande Rombicosidodecaedro	Dodecaedro Achatado

Observação: Estes modelos de poliedros foram construídos por Tom Gettys do departamento de Matemática da California State University.

Na seguinte tabela poderá consultar o número de faces, arestas e vértices de cada um dos sólidos Arquimedianos e ainda quais os polígonos regulares que compõem as suas faces.

Poliedro	F	A	V	Composição
Tetraedro Truncado	8	18	12	4 Triângulos 4 Hexágonos
Cuboctaedro	14	24	12	8 Triângulos 6 Quadrados
Octaedro Truncado	14	36	24	6 Quadrados 8 Hexágonos
Cubo Truncado	14	36	24	8 Triângulos 6 Octógonos
Grande Rombicuboctaedro	26	72	48	12 Quadrados 8 Hexágonos 6 Octógonos
Pequeno Rombicuboctaedro	26	42	24	8 Triângulos 18 Quadrados
Icosidodecaedro	26	60	30	20 Triângulos 6 Pentágonos
Icosaedro Truncado	32	90	60	12 Pentágonos 20 Hexágonos
Dodecaedro Truncado	32	90	60	20 Triângulos 12 Decágonos
Cubo Achatado	38	60	24	32 Triângulos 6 Quadrados
Pequeno Rombicosidodecaedro	62	120	60	20 Triângulos 30 Quadrados 12 Pentágonos
Grande Rombicosidodecaedro	62	180	120	30 Quadrados 20 Hexágonos 12 Decágonos
Dodecaedro Achatado	92	150	60	80 Triângulos 12 Pentágonos

Repare que estes sólidos, à excepção do Pequeno Rombicuboctaedro e do Icosidodecaedro, também satisfazem a relação de Euler.

 

Planificações dos Sólidos Platónicos

Planificações:	Sólido:
	Tetraedro: É um poliedro regular com 4 faces sendo estas triângulos equiláteros, 4 vértices e 6 arestas. O Tetraedro pode formar-se a partir de um molde com quatro triângulos.
	Cubo: É um poliedro regular com 6 faces sendo estas quadrados, 8 vértices e 2 arestas. O cubo pode ser formado a partir de um molde com seis quadrados.
	Octaedro: É um poliedro regular com 8 faces sendo estas triângulos equiláteros, 6 vértices e 12 arestas. O octaedro pode ser formado a partir de um molde com oito triângulos equiláteros.
	Icosaedro: É um poliedro regular com 20 faces que são triângulos equiláteros, 12 vértices e 30 arestas. O icosaedro pode ser formado a partir de um molde de vinte triângulos equiláteros.
	Dodecaedro: É um poliedro regular com 12 faces que são pentágonos, 20 vértices e 30 arestas. O dodecaedro pode formar-se a partir de um molde com vinte pentágonos.

Duais dos Sólidos Platónicos?

O Dual de um Sólido é um outro sólido que se obtém unindo os pontos centrais das faces adjacentes do sólido original.

Dual do Octaedro

O Dual de um sólido Platónico é um sólido Platónico, observe a seguinte tabela:

Sólido	Dual
Tetaedro	Tetaedro
Cubo	Octaedro
Octaedro	Cubo
Dodecaedro	Icosaedro
Icosaedro	Dodecaedro

A tabela também põe em evidência uma certa repartição dos 5 poliedros regulares em 3 classes:

• Tetraedro (dual de si próprio)
•  Cubo e Octaedro
•  Dodecaedro e Icosaedro.

Se comparar o número de faces e de vértices entre os pares, Cubo/Octaedro e Dodecaedro/Icosaedro e, o número de faces e vértices do tetaedro chegará a uma conclusão interessante (consulte a tabela 2):

O número de faces e de vértices, do sólido e do seu dual, são iguais!

Fotografias Interessantes

Sólidos pertencentes a Platão	Alguns sólidos regulares
	Os cinco Poliedros Platónicos
Cinco sólidos platónicos e a sua evolução.
sólido de Kepler	Os cinco elementos
O Cubo da Ribeirinha

            

  Pesquisa realizada no site:

http://avrinc05.no.sapo.pt