Arcos e cordas

Conceitos de desenho geométrico

As propriedades geométricas das figuras podem ser determinadas por meio das construções geométricas feitas com régua e compasso. Desde Euclides (300 a.C.), sabe-se que a geometria e o desenho geométrico se completam e se reforçam, exemplificando inúmeras e utilíssimas aplicações.

A geometria descreve e verifica as propriedades de entes que, no desenho, proporcionam a construção e a obtenção de lugares geométricos. Um lugar geométrico é o conjunto de pontos que apresentam uma determinada propriedade: se um certo ponto possui a propriedade X, então ele pertence ao lugar geométrico dos pontos que satisfazem X.

Alguns lugares geométricos são bem conhecidos:

circunferência : lugar geométrico dos pontos de um plano que são eqüidistantes de um ponto dado chamado centro da circunferência - a distância constante é a medida do raio;

mediatriz: lugar geométrico dos pontos do plano que são eqüidistantes dos extremos de um segmento;

r: reta mediatriz do segmento - conforme a definição, r deve passar pelo ponto médio de de modo perpendicular a ele (fig. 1): essas são as propriedades desse lugar geométrico;

bissetriz interna de um ângulo: lugar geométrico dos pontos do plano que são eqüidistantes em relação aos lados do ângulo.

Circunferências - arcos e cordas
Duas cordas com um extremo comum determinam, em uma circunferência, um ângulo inscrito, e sua medida é a metade da medida do arco compreendido pelas cordas:

, teorema do ângulo inscrito.
= ângulo inscrito.
= arco de extremos A e B que passa por P.

Arco capaz
Qualquer par de cordas com um extremo comum, que determine o mesmo arco na circunferência, determinará também o mesmo ângulo inscrito:



Uma característica interessante decorrente dessa situação é que qualquer ponto Q no arco proporciona , ou seja, qualquer ponto Q sobre o arco "enxerga" o segmento segundo um ângulo , então, é o arco capaz de em relação ao segmento . Esse resultado é muito importante na determinação de ângulos entre retas secantes a circunferências, em problemas de tangência e concordância.

Pode-se definir arco capaz na seguinte situação: dado um segmento de reta e um ângulo , chamamos arco capaz de em relação a ao lugar geométrico dos pontos sob os quais se vê o segmento AB segundo o ângulo .

Semelhança de triângulos e uma decorrência importante
Voltando-se aos dois pares de cordas na circunferência; vê-se que têm intersecção P.


Observe-se que, além de vale também (ângulos opostos pelo vértice). Tem-se, assim, dois triângulos (APC e BPD) com dois pares de ângulos correspondentes congruentes, o que garante que os triângulos são semelhantes. Desse modo, PA . PB = PC . PD. O que esse resultado indica?
Observe que, fixando-se um ponto I no interior de uma circunferência, o produto PA . PB é constante, qualquer que seja a corda passando por P.
O produto PA . PB é denominado potência do ponto P em relação a essa circunferência, e vale para pontos internos ou externos a ela.



Triângulo retângulo
Retomando-se as condições do teorema do ângulo inscrito, o que acontece se as extremidades não comuns das cordas forem extremos de um diâmetro da circunferência?

Observe: C é um ponto qualquer da circunferência; A e B são extremos de um diâmetro.


, mas = 180^o; logo, = 90^o.
Ou seja, o triângulo ABC é retângulo.

Veja as conclusões decorrentes desse resultado:

a semicircunferência é o lugar geométrico dos pontos que vêem um diâmetro sob ângulo de 90^o (é o arco capaz de 90^o em relação ao diâmetro);

um triângulo é inscritível em uma semicircunferência se e somente se é retângulo;

se o triângulo é retângulo, seu circuncentro coincide com o ponto médio da hipotenusa (podendo-se provar o item seguinte);

se o triângulo é acutângulo, o circuncentro é um ponto interno ao triângulo, e se é obtusângulo, o circuncentro é externo).

Você pode demonstrar cada uma dessas proposições usando régua e compasso. 

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Torre de Hanói

Torre de Hanói, um jogo ou um quebra-cabeças?

  A torre de Hanói é um jogo de origem oriental, estilo quebra-cabeças, formado por 3 pinos em uma base. Em um dos pinos estão dispostos alguns discos uns sobre os outros, em ordem decrescente de diâmetro, de baixo para cima.
  A grande questão deste jogo, é passar todos os discos de um pino para outro qualquer, usando um dos pinos como referência, de tal forma que o disco maior sempre fique abaixo do menor.
  O número de discos pode variar sendo que o mais simples contém apenas três.
  Este jogo é usado para avaliar a capacidade de memória de trabalho, planejamento e solução de problemas
Como surgiu

  Existem diversas lendas a respeito da origem deste jogo, que inspirou Edouard Lucas a construir a Torre de Hanói. O nome Hanói é em homenagem a cidade de Hanói, em Vietnã.
  A lenda mais creditada é a respeito de um templo Hindu, centrado no Universo. Diz-se que Brahma (primeiro deus da trindade do hinduísmo) teria criado uma torre com 64 discos de ouro e mais duas estacas (pinos) equilibradas sobre uma base. Brahma pediu aos seus seguidores que movessem todos os discos de uma estaca para outra segundo as suas instruções. As regras eram simples: apenas um disco poderia ser movido por vez e nunca um disco maior deveria ficar por cima de um disco menor. Segundo esta lenda, quando todos os discos fossem transferidos de uma estaca para a outra, o templo iria desmoronar e teríamos o fim do mundo.


Solução do jogo

  É interessante observar que o número mínimo de "movimentos" para conseguir transferir todos os discos da primeira estaca à terceira é 2n - 1, sendo n o número de discos. Logo:

  Para solucionar um Hanói de 4 discos (animação ao lado), são necessários 15 movimentos (24 - 1 = 15).

Para solucionar um Hanói de 7 discos, são necessários 127 movimentos (27 - 1 = 127).

Para solucionar um Hanói de 15 discos, são necessários 32.767 movimentos (215 - 1 = 32.767).

  Para entender a lógica da Torre de Hanói é necessário analisar a construção de diferentes níveis da torre com o número mínimo de movimentos, tendo o nível anterior já formado, sendo que esses níveis são o número de peças desintegradas da torre original que irão formar outra torre com os menores discos.
  Para mover o primeiro disco da torre original, 1 movimento é gasto. Para mover o segundo da torre original, sendo que o primeiro já foi movido e será construída uma torre com os 2 menores discos, são gastos 2 movimentos. Para deslocar o terceiro disco formando nova torre com os três menores discos, tendo a torre com os dois menores já formada, são gastos 4 movimentos.
  Assim se sucede com os próximos discos até que o enésimo disco (o último) seja deslocado compondo uma torre com os outros discos, tendo uma torre com o penúltimo disco e os demais juntos já formada. A sucessão formada pela soma dos movimentos é uma sucessão (1, 2, 4, 8, ..., 2n).

A fórmula 2n - 1 é consequência de uma soma de uma progressão geométrica. Vejamos:

Para somarmos os termos de uma progressão geométrica usamos a fórmula



onde a1 é o primeiro termo, q é a razão e n é o número de termos. Na torre de Hanói, temos q = 2 e a1 = 1.




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O ensino da Matemática sob a visão de Piaget

  Números estudos pedagógicos enfatizam diferentes formas de ensinar Matemática. As teorias desenvolvidas pelo estudo de Piaget abordam situações primordiais que contribuem para o ensino-aprendizagem de tal disciplina. Piaget procurou diagnosticar as fases de transição de conhecimentos, envolvendo a passagem de um conteúdo mais simples para um conteúdo mais complexo. Essas fases de transição receberam o nome de estágios, os quais se baseavam na capacidade de desenvolvimento do raciocínio lógico. A Matemática é considerada o princípio norteador de todo esse trabalho piagetiano.
  Segundo Piaget, a Matemática é resultado do processo mental da criança em relação ao cotidiano, arquitetado mediante atividades de se pensar o mundo por meio da relação com objetos. Dessa forma, não podemos pensar o ensino da Matemática de acordo com o sistema tradicional de educação, caracterizado pela repetição e verbalização de conteúdos. Piaget considera o método tradicional fracassado, pois o mesmo trata a criança como um ser apático e vago. Suas ideias refletem sobre um ensino formador de um raciocínio lógico matemático que conduz à interpretação e compreensão, em detrimento da memorização.
  Os critérios de Piaget sobre educação levam em consideração o desenvolvimento da Psicologia, Biologia, Medicina, Filosofia e Antropologia. Diante dessa conjuntura, o profissional da educação deve promover situações que induzam os alunos a encontrarem soluções práticas e corretas, de acordo com os níveis psicogenéticos identificados. De acordo com o cientista educacional em questão, a Matemática deve ser utilizada como um instrumento capaz de promover a interpretação dos acontecimentos que estão ao nosso redor e pelo mundo, contribuindo na formação de pessoas com níveis de conscientização quanto aos princípios de cidadania. Esse modelo de elaboração do pensamento lógico-matemático desperta nas crianças uma ação x reflexão, capaz de instruir o conhecimento sobre os diferentes estágios de inserção, onde as particularidades individuais sejam respeitadas e que todos caminhem no mesmo sentido rumo ao aprendizado.

Por Marcos Noé
Graduado em Matemática
Equipe Brasil Escola

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Quantas vezes você morre?

Joãozinho pergunta para Marcelinho:

- Quantas vezes você morre?

Marcelinho responde:

Uma só! E você?

Joãozinho completa: "Eu também, mas a Alanis Morrisete".


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Adivinhando uma data de nascimento

  Solicita a alguém que pense no número do mês de seu nascimento (Janeiro 1, Fevereiro 2, Março 3...). Em seguida peça-lhe que:

1) multiplique o número por 2
2) some 5 ao resultado
3) multiplique por 50
4) some sua idade ao resultado

  Após a pessoa lhe informar o resultado, você deve subtrair 250. Os dois últimos números do resultado final darão a idade da pessoa, enquanto o primeiro número (ou primeiros números) será o mês de nascimento. Com essa informação, fica fácil determinar o ano.

Por exemplo, para uma pessoa que tem 20 anos e nasceu em janeiro, teríamos as seguintes operações:

1) Multiplica-se 1 (janeiro) por 2 => 1*2 = 2
2) Soma-se 5 => 2+5 = 7
3) Multiplica-se por 50 => 7*50 = 350
4) Soma-se a idade => 20+350 = 370

Subtrai-se 250 => 370-250 = 120

De 120, o primeiro número revela o mês (janeiro), e os dois últimos (20) são a idade da pessoa. Basta então deduzir o ano, de acordo com a data em que se faz a demonstração.


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Todo mundo é bom em matemática

Já nascemos com um senso numérico. O que atrapalha é o jeito que as escolas ensinam a disciplina

  Se for como a maioria das pessoas, será óbvio para você o que significa fazer matemática. Ainda que seja pressionado a dar uma definição precisa, responderá com uma ideia geral do que o tema envolve: números, aritmética, álgebra, equações, geometria, problemas sobre trens que deixam estações, teoremas. Você não terá nenhuma dificuldade em dizer se é bom nisso (a resposta geralmente é “não” ou, às vezes, “não muito”) ou se gosta do assunto.
  Mas essa visão da matemática é extremamente empobrecida e não representa a disciplina em si. Os números constituem apenas parte de um tipo particular de matemática e, na verdade, não é com cálculos aritméticos que a maioria dos matemáticos gasta a maior parte do tempo. A matemática natural realizada por seres vivos de outras espécies também não se restringe a números e aritmética. Ela trata de padrões. E é de padrões que a vida é feita.
  Os seres humanos nascem (ou adquirem logo depois do nascimento) com um senso de número que lhes permite distinguir 1, 2 ou 3 objetos ou sons. Aos 4 meses são capazes de saber (talvez inconscientemente) que, quando se juntam dois objetos isolados, o resultado é um conjunto de 2 objetos, não 1, nem 3. Sabem que quando retiramos um objeto de um conjunto de 2, o que sobra é um objeto, não 2, tampouco nenhum.
  O problema não está no fato de as pessoas não conseguirem usar matemática. Na verdade, elas não conseguem usar matemática escolar, uma vez que ela é abstrata. O que a evidência mostra é que se nós quisermos aumentar a probabilidade de aprender a disciplina, precisaremos avaliar a forma e o contexto no qual ela é apresentada. O grau de sucesso de uma pessoa no domínio da matemática escolar dependerá, em grande parte, de quanto significado ela conseguirá atribuir aos símbolos e às operações efetuadas com eles.
  O cérebro humano evoluiu como um dispositivo de busca de significado. Nós vemos e buscamos significado em toda parte. Um computador pode ser programado para seguir regras sem ter nenhuma compreensão de seu significado. Mas as pessoas não são assim. Com esforço considerável, podemos aprender tabuadas e treinar para seguir um pequeno número de procedimentos aritméticos. Mas mesmo aí o significado é a chave. É duvidoso que até mesmo o cérebro humano seja capaz de efetuar uma operação desprovida de sentido. A matemática de rua trata exatamente da execução de operações com significados enquanto a matemática escolar trata simplesmente das manipulações formais de símbolos cujos significados, quando existem, não estão representados nos símbolos. Para a maioria das pessoas, R$ 27,99 significa algo. Mas 27,99, não. É só um número.
  Trabalhar com aritmética escolar não envolve procedimentos mais difíceis do que podemos ver em uma criança de 9 anos de idade, precariamente instruída, numa barraca de feira. A única diferença é o grau de significado envolvido. Uma vez que apreendemos o significado, a matemática escolar fica muito mais fácil.

Keith Devlin é professor do departamento de Matemática da Universidade de Stanford e autor de O Instinto Matemático, da Editora Record


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Lotação Esgotada

Um elevador pode levar ou 20 adultos ou 24 crianças. Se 15 adultos já estão no elevador, quantas crianças podem entrar ?

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