Aprendendo com os Blocos Lógicos

Construção de objetos geométricos

Na escola de Carlos, a sexta feira é um dos dias mais esperados por todos. É nesse dia que os alunos estudam Geometria, utilizando as figuras dos Blocos Geométricos. O estojo de figuras geométricas em madeira ou plástico é entregue a cada aluno e a partir daí todos colocam a imaginação para funcionar.

 

O bloco é composto por triângulos, quadrados, retângulos e círculos, com os quais as crianças constroem inúmeros objetos como casas, carros, prédios, locomotivas, bonecos entre outros. Ao observar a imensa alegria demonstrada por seus alunos nesse dia, a professora resolveu desenvolver uma gincana para premiar o objeto mais bonito. Ao final da aula a professora escolheu os três melhores desenhos.

Carlos ganhou a competição. Ele construiu uma linda locomotiva. Veja:

 

Mariana ficou em segundo lugar com sua boneca chamada Lili.

 
O terceiro colocado foi Rafael, que formou com as peças um carrinho rodeado de pessoas construídas com as peças geométricas.

 
Outro jogo interessante capaz de promover construções geométricas possui blocos que se encaixam formando várias combinações. De acordo com essas combinações e com a utilização de muitas peças, qualquer criança ou adulto pode construir vários objetos.

É uma ótima maneira de reunir a família e realizar uma competição envolvendo a melhor construção geométrica, como fez a professora de Carlos, Mariana e Rafael.

Pesquisa realizada no site:
 http://www.escolakids.com

Sólidos Arquimedianos

Arquimedes (287a.c.-212a.c.), nascido em Siracusa,  é sem dúvida um dos maiores matemáticos de todos os tempos.
Foi graças aos engenhos de Arquimedes que a cidade de Siracusa, conseguiu resistir durante três anos, quando foi cercada pelos romanos.

Desenvolveu a Geometria da medida, por exemplo, a definição do número p e o conhecimento do princípio da Física que define a impulsão, tem o seu nome.

Os Poliedros Arquimedianos foram estudados, por Arquimedes no séc. III a. C.. O tratado em que a sua teoria foi exposta encontra-se perdido tal como grande parte das obras dos matemáticos gregos. E de novo, dois mil anos mais tarde, Kepler demonstrou a existência de treze sólidos de Arquimedes.

Existem ligações íntimas entre a família dos sólidos platónicos e a família dos arquimedianos. Por exemplo, efectuando cortes cada vez mais profundos (também chamados truncaturas) nos vértices de um cubo, podemos obter alguns sólidos arquimedianos. As faces dos poliedros arquimedianos são polígonos regulares, não tendo que ser, como no caso dos platónicos, todos iguais. As  condições exigidas, para que os sólidos sejam arquimedianos, são:

• Os vértices são todos do mesmo tipo;
• Todos os sólidos arquimedianos podem ser colocados dentro de um tetraedro regular, de modo que quatro das faces fiquem sobre as faces do tetraedro.

 Os treze sólidos Arquimedianos são os seguintes:

Tetraedro Truncado	Cuboctaedro	Octaedro Truncado

Cubo Truncado	Grande Rombicuboctaedro	Pequeno Rombicuboctaedro

Icosidodecaedro	Icosaedro Truncado	Dodecaedro Truncado

Cubo Achatado	Pequeno Rombicosidodecaedro

Grande Rombicosidodecaedro	Dodecaedro Achatado

Observação: Estes modelos de poliedros foram construídos por Tom Gettys do departamento de Matemática da California State University.

Na seguinte tabela poderá consultar o número de faces, arestas e vértices de cada um dos sólidos Arquimedianos e ainda quais os polígonos regulares que compõem as suas faces.

Poliedro	F	A	V	Composição
Tetraedro Truncado	8	18	12	4 Triângulos 4 Hexágonos
Cuboctaedro	14	24	12	8 Triângulos 6 Quadrados
Octaedro Truncado	14	36	24	6 Quadrados 8 Hexágonos
Cubo Truncado	14	36	24	8 Triângulos 6 Octógonos
Grande Rombicuboctaedro	26	72	48	12 Quadrados 8 Hexágonos 6 Octógonos
Pequeno Rombicuboctaedro	26	42	24	8 Triângulos 18 Quadrados
Icosidodecaedro	26	60	30	20 Triângulos 6 Pentágonos
Icosaedro Truncado	32	90	60	12 Pentágonos 20 Hexágonos
Dodecaedro Truncado	32	90	60	20 Triângulos 12 Decágonos
Cubo Achatado	38	60	24	32 Triângulos 6 Quadrados
Pequeno Rombicosidodecaedro	62	120	60	20 Triângulos 30 Quadrados 12 Pentágonos
Grande Rombicosidodecaedro	62	180	120	30 Quadrados 20 Hexágonos 12 Decágonos
Dodecaedro Achatado	92	150	60	80 Triângulos 12 Pentágonos

Repare que estes sólidos, à excepção do Pequeno Rombicuboctaedro e do Icosidodecaedro, também satisfazem a relação de Euler.

 

Planificações dos Sólidos Platónicos

Planificações:	Sólido:
	Tetraedro: É um poliedro regular com 4 faces sendo estas triângulos equiláteros, 4 vértices e 6 arestas. O Tetraedro pode formar-se a partir de um molde com quatro triângulos.
	Cubo: É um poliedro regular com 6 faces sendo estas quadrados, 8 vértices e 2 arestas. O cubo pode ser formado a partir de um molde com seis quadrados.
	Octaedro: É um poliedro regular com 8 faces sendo estas triângulos equiláteros, 6 vértices e 12 arestas. O octaedro pode ser formado a partir de um molde com oito triângulos equiláteros.
	Icosaedro: É um poliedro regular com 20 faces que são triângulos equiláteros, 12 vértices e 30 arestas. O icosaedro pode ser formado a partir de um molde de vinte triângulos equiláteros.
	Dodecaedro: É um poliedro regular com 12 faces que são pentágonos, 20 vértices e 30 arestas. O dodecaedro pode formar-se a partir de um molde com vinte pentágonos.

Duais dos Sólidos Platónicos?

O Dual de um Sólido é um outro sólido que se obtém unindo os pontos centrais das faces adjacentes do sólido original.

Dual do Octaedro

O Dual de um sólido Platónico é um sólido Platónico, observe a seguinte tabela:

Sólido	Dual
Tetaedro	Tetaedro
Cubo	Octaedro
Octaedro	Cubo
Dodecaedro	Icosaedro
Icosaedro	Dodecaedro

A tabela também põe em evidência uma certa repartição dos 5 poliedros regulares em 3 classes:

• Tetraedro (dual de si próprio)
•  Cubo e Octaedro
•  Dodecaedro e Icosaedro.

Se comparar o número de faces e de vértices entre os pares, Cubo/Octaedro e Dodecaedro/Icosaedro e, o número de faces e vértices do tetaedro chegará a uma conclusão interessante (consulte a tabela 2):

O número de faces e de vértices, do sólido e do seu dual, são iguais!

Fotografias Interessantes

Sólidos pertencentes a Platão	Alguns sólidos regulares
	Os cinco Poliedros Platónicos
Cinco sólidos platónicos e a sua evolução.
sólido de Kepler	Os cinco elementos
O Cubo da Ribeirinha

            

  Pesquisa realizada no site:

http://avrinc05.no.sapo.pt

 

Álgebra - determinantes

É possível resolver sistemas de equações no tabuleiro de xadrez?

 

   Na antiga matemática chinesa não existia a representação das variáveis por letras. Por isto, para representar e resolver sistemas de equações, foi desenvolvido um método de diagramas que deu origem a um novo conceito matemático. Nesses diagramas eram colocados apenas os coeficientes das variáveis e os termos independentes. Assim, resolvia-se então o sistema pelo método da álgebra do tabuleiro, em que a posição do número no diagrama indicava de qual termo (ou variável) se tratava.   Tal como no jogo de xadrez, em que a posição de cada peça é fundamental, é a posição do número no diagrama que soluciona o sistema. Vinte séculos depois, os matemáticos Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 a 1716) e Colin Maclaurin (1698 a 1746) retomaram esta ideia e, no final do século 17, elaboraram a Teoria dos Determinantes.

 Conceito de determinante

Observe o sistema: 3x + 2y = 9 2x – 2y = 1 Com a álgebra do tabuleiro, montamos o seguinte diagrama: 3 2 9 2 -2 1 Para eliminar y, somamos as linhas: 5/10 Em seguida calculamos o valor de x: 10:5 = 2 • Com os diagramas elaboramos matrizes. Dada uma matriz quadrada, chama-se determinante o número real a ela associado. Assim, se a matriz quadrada for de ordem 2, de ordem 3 ou de ordem n, falamos de determinantes de segunda ordem, de terceira ordem ou de ordem superior a três. • Há uma notação específica que pode ser utilizada para os determinantes. Como tomaria muito tempo escrever suas linhas e colunas toda vez que nos referimos ao determinante de uma matriz, usamos a seguinte notação: ou também, Det A

 Cálculo de determinantes

Determinantes de segunda ordem Dada uma matriz quadrada A de segunda ordem: O determinante desta matriz, ou determinante de segunda ordem, é o número que se obtém ao calcular a11a22 - a12a21; que é assim representado: As linhas e as colunas da matriz passam a se chamar linhas e colunas da matriz que gera o determinante. Determinantes de terceira ordem Para os determinantes de terceira ordem, é preciso introduzir dois termos novos: o menor complementar e o adjunto (ou cofator). Dada uma matriz quadrada de terceira ordem, dizemos que o menor complementar de qualquer de seus elementos é o determinante da matriz de segunda ordem obtido ao suprimirmos, na matriz original, a linha e a coluna onde o referido elemento se encontra. Para a notação, em geral, do menor complementar do elemento aij, usa-se Mij. Exemplo: O menor complementar de a23 (aij) é: Para a mesma matriz dada de terceira ordem, o adjunto ou cofator de um elemento qualquer da matriz é o menor complementar com sinal positivo ou negativo, segundo a posição que o elemento ocupa na matriz. Em geral, o adjunto do elemento aij é representado por Aij. Para saber o sinal que lhe caberá, existe um sistema: - Aij é positivo se a soma de i + j der um número par e será - negativo se a referida soma, i + j, for um número ímpar. Para todas as matrizes de terceira ordem, verifica-se a seguinte distribuição de sinais: Assim, dada a matriz A de terceira ordem: Calcular o adjunto de A23 e A31: Agora já estamos em condições de definir determinante de uma matriz de terceira ordem. Dada uma matriz quadrada de terceira ordem, chamamos determinante de terceira ordem o número obtido ao somarmos os resultados da multiplicação de cada elemento de suas filas, sejam elas linhas ou colunas, por seu adjunto. Se observarmos com atenção o desenvolvimento da fórmula, certamente não teremos qualquer dificuldade para entender a definição. Para a matriz: O valor de seu determinante de terceira ordem é: Para lembrar os seis termos e os respectivos sinais, que permitem calcular o determinante de terceira ordem, existem duas regras práticas: • Regra de Sarrus: os três produtos positivos correspondem ao produto dos elementos situados na diagonal principal e linhas paralelas a ela pelo elemento situado no vértice oposto e os três produtos negativos correspondem ao produto dos elementos situados na outra diagonal e linhas paralelas a ela pelo elemento situado no vértice oposto. Para enxergarmos mais claramente, observemos a Figura 1, abaixo Figura 1 • Outra regra prática para calcular esses determinantes consiste em repetir as duas primeiras linhas após escrever a terceira. Assim, os positivos serão os produtos dos termos da diagonal principal e das diagonais inferiores paralelas a ela, e os negativos serão os produtos dos termos da outra diagonal e das inferiores paralelas a ela. Observemos o determinante (quadro abaixo) e nas Figuras 2 e 3, abaixo: Figura 2 Figura 3 Determinantes de ordem superior a três Para definir e calcular os determinantes de matrizes quadradas de ordem superior a três, utilizaremos a definição dos determinantes de terceira ordem. Dada uma matriz quadrada de ordem n (ao lado). Seu determinante é a soma dos produtos dos elementos de uma fila pelos respectivos adjuntos:

Propriedades dos determinantes

Independentemente de qual seja sua ordem, os determinantes têm propriedades comuns: O determinante de uma matriz e o de sua matriz transposta são iguais. Isto nos permitirá, a partir de agora, falarmos das linhas e colunas sem necessidade de diferenciá-las, e poderemos nos referir a elas como as filas dos determinantes. O que for válido para as linhas também o será para as colunas, como no quadro abaixo: • Se uma fila de um determinante é formada por zeros, o valor deste determinante é zero: • Se um determinante tem duas filas iguais, seu valor é zero. Veja quadro abaixo. • Se uma fila de um determinante é a combinação linear das demais, isto é, se pudermos obter uma fila a partir das outras por meio de operações matemáticas, o valor do determinante é zero. No exemplo acima, podemos ver como a segunda linha pode ser obtida a partir da primeira multiplicada por 2. • Para multiplicar um determinante por um número, basta multiplicar uma fila qualquer do determinante por este número: • Em consequência da propriedade anterior, se uma fila do determinante, seja ela linha ou coluna, tem um fator comum, este fator comum pode ser retirado do determinante: • Se num determinante considerarmos uma fila como a soma de duas filas, o determinante é igual à soma de dois determinantes: • Se a uma fila de um determinante somarmos uma combinação linear de outras filas, o determinante não muda de valor: Aplicações dos determinantes Cálculo da matriz inversa Dada a matriz A, de terceira ordem e inversível, procuramos a matriz transposta da matriz A: Matriz A Matriz transposta de A • Achada a matriz transposta, calculamos a matriz de adjuntos da matriz transposta de A: • Calculamos em seguida o valor do determinante da matriz A como foi feito no item 2, desenvolvido anteriormente, e poderemos aplicar a seguinte fórmula: A-1 = (matriz de adjuntos de transposta) Det A Onde A–1 é a matriz inversa da matriz A, Det A é o valor do determinante da matriz A e (matriz de adjuntos da transposta) a representação da matriz de adjuntos da transposta.

Resolução de sistemas pelo Método de Cramer

O Método de Cramer é um sistema que tem tantas equações quanto incógnitas, e o determinante da matriz é diferente de zero. Para solucionar esse sistema, podemos achar o valor das incógnitas sabendo que cada incógnita é o quociente de dois determinantes. O denominador é sempre o determinante da matriz do sistema e o numerador é o determinante da matriz obtida ao substituirmos, na matriz do sistema, a coluna correspondente à incógnita pela coluna de termos independentes. Dado um sistema de três equações com três incógnitas: a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 = b1  a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 = b2 a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 = b3 E sendo a matriz do sistema: Considerando que temos de substituir na matriz do sistema a coluna correspondente à incógnita pela coluna de termos independentes, as soluções do sistema terão uma expressão, como a que está desenvolvida abaixo:

Pesquisa realizada no site:

http://www.klickeducacao.com.br/